Bedeutung Arithmetik

Ingbert Hess Juli 26, 2016 B 3 0
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Bedeutung Arithmetik ist ein Satz von Regeln zum Annähern der Ausbreitung der Unsicherheit in wissenschaftlichen oder statistischen Berechnungen. Diese Regeln können verwendet werden, um die entsprechende Anzahl von signifikanten Stellen zu finden, mit dem das Ergebnis einer Berechnung darstellen. Wenn eine Berechnung ohne Analyse der Unsicherheit beteiligt getan, um ein Ergebnis, das mit zu vielen signifikanten Stellen geschrieben ergriffen werden eine höhere Genauigkeit als bekannt ist, und ein Ergebnis, das mit zu wenigen signifikanten Stellen führt zu einer vermeidbaren Verlust geschrieben implizieren Präzision. Das Verständnis dieser Regeln erfordert ein gutes Verständnis des Begriffs der wesentlichen und nicht wesentlichen Zahlen.

Die Regeln der arithmetischen Bedeutung sind Näherungswerte auf der Grundlage statistischer Regeln für den Umgang mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sieh den Artikel auf Fortpflanzung von Unsicherheiten für diese erweiterte und genaue Regeln. Bedeutung arithmetischen Regeln beruhen auf der Annahme, dass die Anzahl der signifikanten Ziffern in den Operanden gibt genaue Information über die Unsicherheit bezüglich der Operanden und somit die Unsicherheit des Ergebnisses. Für eine Alternative finden Intervallarithmetik.

Eine wichtige Einschränkung ist, dass signifikante Zahlen gelten nur für die Messwerte. Werte bekannt, um genau zu sein, sollte die Bestimmung der Anzahl von signifikanten Ziffern, die in der Folge gehören, ignoriert. Beispiele für solche Werte sind:

  • Integer-Zählungen
  • Definitionen von einer Einheit in Bezug auf eine andere
  • die tatsächlichen Preise gebeten oder angeboten werden, und die Mengen in Pflichtenheften gegeben
  • gesetzlich festgelegten Umwandlungen, wie internationale Wechsel
  • skalare Operationen wie "Verdreifachung" oder "Halbierung"
  • mathematische Konstanten wie π und E

Physikalische Konstanten wie die Avogadro-Zahl haben jedoch eine begrenzte Anzahl von signifikanten Ziffern, da diese Konstanten sind uns nur durch Messung bekannt. Auf der anderen Seite, ist genau 299.792.458 m / s definitions c.

Multiplikation und Division mit Bedeutung Arithmetik

Beim Multiplizieren oder Dividieren Zahlen, wird das Ergebnis mit der Anzahl der signifikanten Stellen des Faktors mit den wenigsten signifikante Stellen gerundet. Hier wird die Menge der signifikanten Ziffern in jedem der Faktoren wichtig ist, nicht die Position der signifikanten Ziffern. Zum Beispiel mit Bedeutung Rechenregeln:

  • 8 × 8 = 6 · 10
  • 8 x 8,0 = 6 x 10
  • 8,0 x 8,0 = 64
  • 8,02 × 8,02 = 64,3
  • 8 / 2,0 = 4
  • 8.6 /2.0012 = 4,3
  • 2 x 0,8 = 2

Wenn bei der obigen werden die Zahlen angenommen Messungen werden dann auf "8" oberhalb stellt eine ungenaue Messung mit nur einer signifikanten Stelle. Daher wird das Ergebnis von "8 x 8", um ein Ergebnis mit nur einer signifikanten Ziffer abgerundet, dh "6 · 10" statt des ungerundeten "64", dass man erwarten könnte. In vielen Fällen ist das gerundete Ergebnis weniger genau als die nicht gerundete Ergebnis; eine Messung der "8" eine tatsächliche zugrundeliegende Menge zwischen 7,5 und 8,5. Die wahre Quadrat würde im Bereich zwischen 56,25 und 72,25 zu sein. So 6 x 10 ist das beste geben kann, wie andere mögliche Antworten geben ein falsches Gefühl der Genauigkeit. Ferner ist selbst die 6 x 10 verwirrend.

Addition und Subtraktion mit Bedeutung Arithmetik

Beim Addieren oder Subtrahieren mit signifikanten Zahlen Regeln werden die Ergebnisse in die Position des niedrigstwertigen Ziffer in der unsichersten der Zahlen summiert gerundet. Das heißt, das Ergebnis wird an der letzten Stelle, die von Bedeutung ist in jede der Zahlen summiert werden gerundet. Hier ist die Position der signifikanten Stellen wichtig, aber die Menge der signifikanten Ziffern ist irrelevant. Einige Beispiele mit diesen Regeln:

  • 1 + 1,1 = 2
    • 1 ist signifikant auf die Einerstelle, 1.1 ist signifikant auf die Zehntel Ort. Von den beiden, ist das Mindeste, genauer die Einerstelle. Die Antwort kann keine signifikanten Stellen an der Einerstelle.
  • 1,0 + 1,1 = 2,1
    • 1.0 und 1.1 sind signifikant auf die Zehntel statt, so wird die Antwort auch eine Zahl in das Zehntel Ort.
  • 100 + 110 =?
    • Ob 100 und 110 sind signifikant, an die Stelle mehrdeutig sein können. Deshalb können wir möglicherweise nicht geben kann eine angemessene Antwort. Die nächsten zwei Beispiele explizit mit dem Ort, von der Bedeutung der Zahlen.
  • 100. + 110. = 210.
    • 100 und 110 sind jeweils als erheblich zu der diejenigen statt, so dass die Antwort ist auch von Bedeutung, um die Einerstelle.
  • 1 × 10 + 1,1 × 10 = 2 × 10
    • 100 ist signifikant bis zum Hundert Platz, während 110 bis zu der Zehnerstelle. Von den beiden, ist das Mindeste, genauer die Hunderterstelle. Die Antwort sollte keine signifikanten Stellen an der Hunderterstelle.
  • 1,0 × 10 + 111 = 2,1 × 10
    • 1,0 x 10 ist signifikant bis zur Zehnerstelle, während 111-Nummern bis zur Einerstelle. Die Antwort wird keine signifikanten Stellen an der Zehnerstelle.
  • 123,25 + 46,0 + 86,26 = 255,5
    • 123,25 und 86,26 sind signifikant, bis die Hundertstel statt, während 46.0 bis zum Zehntel erst signifikant. Die Antwort wird signifikante bis zum Zehntel Ort sein.

Transzendenten Funktionen

Transzendenten Funktionen haben ein kompliziertes Verfahren auf der Bestimmung der Bedeutung des Ergebnisses. Dazu gehören Logarithmus, Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen. Die Bedeutung des Ergebnisses davon abhängt, wie der Eingang des Funktions schlecht konditioniert. Im Allgemeinen ist die Anzahl der signifikanten Ziffern für das Ergebnis gleich der Anzahl der signifikanten Ziffern für die Eingabe minus der Größenordnung der Konditionszahl.

Die Konditionszahl einer differenzierbaren Funktion f in einer Variable als Funktion siehe Bedingung Nummer: Eine Variable für Details. Beachten Sie, dass, wenn eine Funktion hat eine Null an einem Punkt, ist der Bedingungszahl am Punkt unendlich, als infinitesimale Änderungen im Eingang den Ausgang von Null auf positiv oder negativ ändert, was ein Verhältnis mit Null in dem Nenner, daher unendlich relativen ändern. Die Konditionszahl der meist verwendeten Funktionen sind wie folgt; Diese können verwendet werden, um signifikante Zahlen für alle elementaren Funktionen zu berechnen:

  • Exponentialfunktion:
  • Natürlichen Logarithmus-Funktion:
  • Sinus-Funktion:
  • Cosinus-Funktion:
  • Tangens-Funktion:
  • Inverse Sinusfunktion:
  • Inverse Kosinus-Funktion:
  • Arkustangens-Funktion:

Rundungsregeln

Weil Bedeutung arithmetischen Rundungs ​​beinhaltet, ist es sinnvoll, eine bestimmte Rundungsregel, die oft, wenn dabei wissenschaftliche Berechnungen verwendet wird, zu verstehen: die Rund-um-den-noch-Regel. Es ist besonders nützlich bei großen Datenmengen.

Diese Regel hilft, die oben Schrägstellung von Daten bei Verwendung der herkömmlichen Rundungsregeln zu beseitigen. Während traditionelle Rundung rundet immer auf, wenn die folgende Ziffer 5, Banker manchmal abrunden, um diese nach oben Bias eliminieren.

Sieh den Artikel auf Rundungs ​​für weitere Informationen über Rundungsregeln und eine ausführliche Erläuterung der Runde-to-even-Regel.

Meinungsverschiedenheiten über Bedeutung

Signifikanten Stellen werden weitgehend in der High School und Bachelor-Kursen als Abkürzung für die Genauigkeit, mit der eine Messung bekannt ist. Jedoch sind signifikante Ziffern gibt nicht exakt das der Unsicherheit, und sind nicht dazu gedacht sein. Stattdessen sind sie ein nützliches Instrument zur Vermeidung Weitere Informationen zum Ausdruck als der Experimentator tatsächlich weiß, und zur Vermeidung von Rundungs ​​Zahlen in einer Weise, um Präzision zu verlieren.

Zum Beispiel, viele sehen diese als wichtige Unterschiede zwischen bedeutende Figur Regeln und Unsicherheit:

  • Unsicherheit ist nicht dasselbe wie ein Fehler. Wenn das Ergebnis von einem bestimmten Experiment als 1.234 ± 0.056 gemeldete es bedeutet nicht, der Beobachter einen Fehler gemacht; es kann sein, dass das Ergebnis grundsätzlich um statistische und wird am besten durch den Ausdruck 1,234 ± 0,056 beschrieben. Um dieses Ergebnis zu beschreiben als 1.234 ± 0.002 falsch wäre, auch wenn es weniger Unsicherheit ausdrückt.
  • Unsicherheit ist nicht dasselbe wie die Bedeutungslosigkeit, und umgekehrt. Eine ungewisse Zahl kann von großer Bedeutung sein. Umgekehrt kann ein ganz bestimmte Anzahl unbedeutend sein.
  • Bedeutung ist nicht die gleiche wie Ziffern. Digit-Zählen ist nicht so streng ein Weg, um Bedeutung als Angabe der Unsicherheit separat und explizit zu repräsentieren.
  • Handbuch, algebraische Ausbreitung der Unsicherheit der nominale Thema dieses Artikels ist möglich, aber schwierig. Alternative Verfahren schließen die Kurbel dreimal Methode und die Monte-Carlo-Methode. Eine weitere Option ist Intervallarithmetik, die eine strenge obere Grenze für die Unsicherheit gebunden liefern kann, aber im Allgemeinen ist es nicht eine feste obere Grenze. Für die meisten Zwecke ist Monte Carlo nützlicher als Intervallarithmetik. Kahan Auffassung Bedeutung arithmetische unzuverlässig als eine Form der automatischen Fehleranalyse werden.

Um explizit die Unsicherheit in jedem unsicheren Ergebnis zum Ausdruck bringen, sollte die Unsicherheit separat angegeben werden.

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