Einzelwert

Grit Kauer Dezember 24, 2016 E 7 0
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In der Mathematik, insbesondere Funktionsanalyse, die Singulärwerte, oder s-Zahlen aus einer kompakten Bedienperson, die zwischen Hilbert-Räume X und Y sind die Quadratwurzeln der Eigenwerte der nicht-negativen selbstadjungierter Operator.

Die Einzelwerte sind nicht-negativen reellen Zahlen, in der Regel in absteigender Reihenfolge aufgeführt s2, ...). Wenn T selbstadjungiert ist, dann ist der größte Einzelwert s1 gleich der Operatornorm von T. ist

Im Fall, dass T on euklidischen Raum R wirkt, gibt es eine einfache geometrische Interpretation für die singulären Werte: Betrachten des Bildes durch T der Einheitskugel; Dies ist ein Ellipsoid, und dessen Halbachsen sind die singulären Werte von T.

Im Fall einer normalen Matrix A kann die Spektraltheorem angewendet werden, um einheitliche Diagonalisierung A gemäß erhalten. Deshalb, und so die Singulärwerte sind einfach die Absolutwerte der Eigenwerte.

Die meisten Normen für Hilbert-Raum Betreiber untersucht werden mit s-Zahlen definiert. Beispielsweise ist die Ky Fan-k-Norm der Summe der ersten k singulären Werte, ist die Spur Norm die Summe der Einzelwerte und der Schatten-Norm ist der p-ten Wurzel der Summe der p-ten Potenzen der Singulärwerte. Beachten, dass jede Norm ist nur auf eine spezielle Klasse der Operatoren definiert ist, damit s-Zahlen sind nützlich bei der Klassifizierung von verschiedenen Betreibern.

Im endlichen zweidimensionalen Fall kann eine Matrix immer in Form NAE, wobei U und W eine unitäre Matrix ist und D eine Diagonalmatrix mit den singulären Werte auf der Diagonalen liegenden zerlegt werden. Dies ist die Singulärwertzerlegung.

Geschichte

Dieses Konzept wurde von Erhard Schmidt im Jahre 1907. Schmidt nannte singulären Werte "Eigenwerte" zu dieser Zeit eingeführt. Der Name "Singular Value" wurde zuerst von Smithies 1937 zitiert 1957 bewiesen Allahverdiev die folgende Charakterisierung der n-ten s-Nummer:

Diese Formulierung wurde es möglich, den Begriff der s-Nummern an Betreiber in Banach-Raum zu erweitern.

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