Gestreckt Exponentialfunktion

Frederick Seiler April 6, 2016 G 14 0
FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc

Die gestreckte Exponentialfunktion

durch Einsetzen einer fraktionierten Potenzgesetz in der Exponentialfunktion erhalten. In den meisten Anwendungen ist es sinnvoll nur für Argumente t zwischen 0 und + ∞. Mit β = 1 ist die übliche Exponentialfunktion zurückgewonnen. Mit einem Streck Exponent β zwischen 0 und 1 ist die graphische Darstellung von log f gegen t charakteristischer gestreckt, woher der Name der Funktion. Das komprimierte Exponentialfunktion weniger praktischer Bedeutung, mit der bemerkenswerten Ausnahme von β = 2, die der Normalverteilung gibt.

In der Mathematik ist die gestreckte Exponentialfunktion auch als komplementäre kumulative Weibull-Verteilung bekannt. Weiterhin ist die gestreckte exponentiellen die charakteristische Funktion der Abgabe symmetrischen alphastabilen Verteilung.

In der Physik wird die gestreckte Exponentialfunktion oft als eine phänomenologische Beschreibung der Entspannung in ungeordneten Systemen verwendet. Es wurde zuerst von Rudolf Kohlrausch im Jahre 1854 eingeführt, um die Entladung eines Kondensators zu beschreiben; daher wird auch der Kohlrausch-Funktion. 1970, G. Williams and DC Watt verwendet die Fourier-Transformation des gestreckten Exponentialfunktion dielektrischen Spektren von Polymeren zu beschreiben; in diesem Zusammenhang ist die gestreckte exponentiell oder ihre Fourier-Transformierte nennt man auch die Kohlrausch-Williams-Watts-Funktion.

Phänomenologisch Anwendungen ist es oft nicht klar, ob die gestreckten Exponentialfunktion sollte die differentielle oder dem Integralverteilungsfunktion oder weder anzuwenden. In jedem Fall erhält man die gleiche asymptotische Verfall, sondern eine andere Potenzgesetz Vorfaktor, wodurch passt weniger eindeutig als bei einfachen Exponentialfunktionen. In einigen Fällen kann gezeigt werden, dass das asymptotische Zerfall ist ein gestreckter exponentiell, aber der Vorfaktor ist üblicherweise ein nicht verwandtes Kraft.

Mathematischen Eigenschaften

Moments

Nach der üblichen physikalischen Interpretation interpretieren wir das Funktionsargument t als Zeit und Fß ist die unterschiedliche Verteilung. Die Fläche unter der Kurve ist daher als Mittelwert Relaxationszeit interpretiert. Findet man

wobei Γ ist die Gammafunktion. Für exponentiellen Abfall, <τ> = & tgr; k wird zurückgewonnen.

Die höheren Momente der gestreckten Exponentialfunktion sind:

Verteilungsfunktion

Physik, wurden Versuche unternommen, um gestreckte exponentielles Verhalten als eine lineare Überlagerung der einfache exponentielle Zerfälle erklären. Dies erfordert eine nicht triviale Verteilung der Relaxationszeiten, ρ, die implizit definiert ist durch

Alternativ kann ein Verteilungs

verwendet.

ρ aus der Reihenentwicklung berechnet werden:

Figur 2 zeigt die gleichen Ergebnisse sowohl in einem linearen und einem log-Darstellung aufgetragen. Die Kurven konvergieren zu einem Dirac-Delta-Funktion kulminierte an u = 1 β 1 nähert, entsprechend der einfachen Exponentialfunktion.

Die Momente der ursprünglichen Funktion kann ausgedrückt werden als

Die erste logarithmische Moment der Verteilung der einfachen exponentiellen Relaxationszeiten ist

wo Eu ist die Euler-Konstante.

Fourier-Transformation

Ergebnisse aus Spektroskopie oder inelastische Streuung zu beschreiben, die Sinus- oder Cosinus-Fourier-Transformation des gestreckten Exponentialfunktion benötigt. Es muss entweder durch numerische Integration aus einer Reihenentwicklung berechnet werden oder. Die Serie hier ebenso wie derjenige für die Verteilungsfunktion sind Spezialfälle der Fox-Wright-Funktion. Für praktische Zwecke, die Fourier-Transformation kann durch die Havriliak-Negami Funktion angenähert werden, obwohl heutzutage die numerische Berechnung kann so effizient, dass es keinen Grund mehr, nicht den Kohlrausch-Williams-Watts-Funktion in der Frequenzdomäne zu verwenden durchgeführt werden.

Geschichte und weitere Anwendungen

Wie in der Einleitung gesagt, wurde die gestreckte Exponentialfunktion von dem deutschen Physiker Rudolf Kohlrausch im Jahre 1854 eingeführt, um die Entladung eines Kondensators, die Glas als Dielektrikum verwendet, zu beschreiben. Der nächste dokumentierte Nutzung ist von Friedrich Kohlrausch, der Sohn von Rudolf, auf Torsion Entspannung zu beschreiben. A. Werner verwendete es im Jahr 1907 bis hin zu komplexen Lumineszenz-Zerfälle zu beschreiben; Theodor Förster 1949 als Fluoreszenzzerfallsgesetz von elektronischen Energiespendern.

Außerhalb der Physik kondensierter Materie hat die gestreckten Exponentialfunktion verwendet, um die Entfernungsraten von kleinen, Streukörpern im Sonnensystem und die diffusionsgewichtete MRT-Signal im Gehirn beschreiben.

In der Wahrscheinlichkeits

Wenn der integrierte Verteilung wird eine gestreckte Exponentialfunktion wird die normierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gegeben durch

Beachten Sie, dass zum Verwechseln einige Autoren sind dafür bekannt, den Namen zu verwenden "gestreckt exponentielle", um auf die Weibull-Verteilung beziehen.

Geänderte Funktionen

Eine modifizierte Funktion

mit langsam t-abhängige β Exponenten für biologische Lebenskurven verwendet.

  Like 0   Dislike 0
Vorherige Artikel Berufsakademie
Nächster Artikel WorkCoverSA
Bemerkungen (0)
Keine Kommentare

Fügen Sie einen Kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Zeichen übrig: 3000
captcha