Kompartment-Modellen in der Epidemiologie

Viola Hofer April 7, 2016 K 4 0
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Dies ist die neueste der angenommenen Überarbeitungen am 24. Oktober 2014 angenommen.

Der Aufbau und die Verbreitung von Infektionskrankheiten ist ein komplexes Phänomen mit vielen interagierenden Faktoren, beispielsweise der Umwelt, mit der die Erreger und Techniker sind in der Lage, die Bevölkerung es ausgesetzt ist, und die intra- und inter Dynamik der Bevölkerung ist es ausgesetzt. Die Rolle der mathematischen Epidemiologie ist es, den Aufbau und die Verbreitung von Krankheitserregern zu modellieren. Eine vorherrschende Methode, dies zu tun, ist, den Begriff der Abstraktion der Bevölkerung in die Abteile unter bestimmten Annahmen, die ihren Gesundheitszustand gegenüber dem Pathogen in dem System darstellen, zu verwenden. Einer der Eckpfeiler arbeitet, um zu erreichen Erfolg in dieser Methode wurde von Kermack und McKendrick in den frühen 1900er Jahren gemacht.

Diese Modelle werden als Kompartment-Modellen in der Epidemiologie bekannt und dienen als Basis mathematischen Rahmen für das Verständnis der komplexen Dynamik dieser Systeme, die auf die Hauptmerkmale des Systems zu modellieren hoffen. Diese Abteile im einfachsten Fall kann die Bevölkerung in zwei Gesundheitszustände zu schichten: anfällig für die Infektion des Erregers; und durch das Pathogen infiziert. Die Art und Weise, dass diese Fächer zu interagieren wird oft phänomenologischen Annahmen beruhen, und das Modell wird von dort gebaut. Diese Modelle werden in der Regel durch gewöhnliche Differentialgleichungen ein, sondern kann auch in realistischer stochastischen Rahmen betrachtet werden. Um diese Grundmodelle zur weiteren Realismus drücken, werden weitere Fächer oft enthalten, vor allem das zurückgewonnene / entfernt / Immunfach.

Sobald man in der Lage, um eine Infektionserregers mit Kompartment-Modellen zu modellieren, kann man die verschiedenen Eigenschaften des Erregers Ausbreitung beispielsweise vorhersagen, die Häufigkeit und die Dauer der Epidemie. Auch kann man verstehen, wie unterschiedliche Situationen kann das Ergebnis der Epidemie auswirken, beispielsweise, was ist die beste Technik für die Erteilung einer beschränkten Anzahl von Impfstoffen in einer bestimmten Population?

Die SIR-Modell

Die SIR-Modell markiert diese drei Fächer S = Anzahl anfällig, I = Anzahl infektiöser und R = Anzahl erholt. Dies ist ein gutes und einfaches Modell für viele Infektionskrankheiten einschließlich Masern, Mumps und Röteln.

Die Buchstaben repräsentieren auch die Anzahl der Personen in jedem Abteil zu einer bestimmten Zeit. Um anzuzeigen, dass die Zahlen möglicherweise über die Zeit variieren, stellen wir die genauen Zahlen eine Funktion von t: S, I und R. für eine bestimmte Krankheit in einer bestimmten Bevölkerung, diese Funktionen durchgeführt, um mögliche Ausbrüche vorherzusagen, und bringen sie bearbeitet werden unter Kontrolle.

Die SIR-Modell ist dynamisch in drei Richtungen

Wie durch die variable Funktion von t impliziert, ist das Modell dynamisch, als die Zahlen in jedem Fach über die Zeit schwanken. Die Bedeutung dieses dynamischen Aspekt ist eine Volkskrankheit mit einer kurzen Infektionsperiode naheliegendste wie Masern im UK vor der Einführung eines Impfstoffs 1968. Solche Krankheiten sind in der Regel in Zyklen von Ausbrüche treten aufgrund der Variation in der Zahl der Anfälligen (S) über die Zeit. Während einer Epidemie, die Anzahl der empfänglichen Personen fällt schnell wie mehrere von ihnen angesteckt werden und somit geben Sie die infektiösen und entfernt Fächer. Die Krankheit kann nicht brechen wieder, bis die Zahl der Anfälligen hat wieder als Folge der Nachkommen errichtet in die anfällig Fach geboren.

Jedes Mitglied der Population schreitet typischerweise aus, die für infektiöse entfernt. Dies kann als ein Flussdiagramm, in dem die Kästen stellen die verschiedenen Kammern und den Pfeilen der Übergang zwischen den Kompartimenten gezeigt.

Übergangsraten

Für die volle Spezifikation des Modells sollten die Pfeile mit den Übergangsraten zwischen den Abteilen zu kennzeichnen. Zwischen S und I wird die Übergangsrate ß I, in denen β ist die Kontaktrate, die Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeit, die Krankheit in einem Kontakt zwischen einer anfälligen und einer Infektions Thema nimmt.

Zwischen I und R ist die Übergangsgeschwindigkeit ν. Wenn die Dauer der Infektion wird D, dann ν = 1 / T, da eine individuelle Erfahrungen eine Erholung in D Zeiteinheiten bezeichnet.

Es wird angenommen, dass die Dauerhaftigkeit der einzelnen Gegenstand in den epidemischen Staaten ist eine Zufallsvariable mit Exponentialverteilung. Komplexer und realistischer Distributionen gleichermaßen mit wenigen Modifikationen verwendet werden.

Bio-deterministischen mathematischen Behandlung des SIR-Modell

Die SIR-Modell ohne lebenswichtige Dynamik

Die Dynamik der Epidemie, zum Beispiel die Grippe, sind oft sehr viel schneller als die Dynamik von Geburt und Tod, damit, Geburt und Tod sind oft in einfachen Kompartment-Modellen weggelassen. Das SIR-System ohne sogenannte oben beschrieben, kann durch den folgenden Satz von gewöhnlichen Differentialgleichungen ausgedrückt werden vitale Dynamik:

Dieses Modell war zum ersten Mal von O. Kermack und Anderson Grau McKendrick als Spezialfall dessen, was wir jetzt Kermack-McKendrick Theorie nennen vorgeschlagen und anschließend arbeiten McKendrick hatte mit dem Ronald Ross getan.

Dieses System ist nicht-linear und nicht eine allgemeine analytische Lösung zugeben. Dennoch können signifikante Ergebnisse analytisch abgeleitet werden.

Erstens beachten Sie, dass ab:

es folgt dem:

zum Ausdruck mathematisch die Konstanz der Bevölkerung. Man beachte, dass die obige Beziehung bedeutet, dass nur eine Notwendigkeit, die Gleichung Studie für zwei der drei Variablen.

Zweitens stellen wir fest, dass die Dynamik des Infektionsklasse ist abhängig von dem folgenden Verhältnis:

die sogenannte Basisreproduktionszahl. Dieses Verhältnis wird als der erwarteten Zahl der Neuinfektionen aus einer Infektion in einer Population, in der alle Fächer sind anfällig abgeleitet. Diese Idee kann wahrscheinlich mehr ohne weiteres ersichtlich, wenn wir sagen, dass die typische Zeit zwischen den Kontakten ist, und die typische Zeit bis zur Wiederherstellung ist. Von hier aus folgt, daß, im Durchschnitt, ist die Anzahl der Kontakte, die von einer infizierten Person mit anderen vor dem infizierten erholt hat:

Durch Dividieren des ersten Differenzgleichung durch das dritte, die Trennung der Variablen und die Integration erhalten wir

 und R sind die ersten Nummern der jeweils anfällig und entfernt Fächer). Somit wird in der Begrenzung, der Anteil der wieder Individuen gehorcht der transzendenten Gleichung

Diese Gleichung zeigt, dass am Ende einer Epidemie, es sei denn, S = 0, nicht alle Individuen der Bevölkerung haben sich erholt, so dass einige müssen anfällig bleiben. Dies bedeutet, dass das Ende einer Epidemie wird durch den Rückgang der Zahl der infizierten Personen und nicht als absolute Mangel an empfindlichen Themen verursacht. Die Rolle der Basisreproduktionszahl ist äußerst wichtig. In der Tat, beim Umschreiben der Gleichung für Infektions Personen wie folgt:

es ergibt sich, dass, wenn:

dann:

dh es wird eine richtige Seuchen mit einer Zunahme der Anzahl der infektiös sein. Im Gegenteil, wenn

dann

dh unabhängig von der Anfangsgröße des anfälligen Bevölkerungs die Krankheit verursachen kann nie eine richtige Epidemie Ausbruch. Infolgedessen ist es klar, dass der Basisreproduktionszahl ist äußerst wichtig.

Die Kraft der Infektion

Man beachte, dass in dem obigen Modell die Funktion:

Modelle der Übergangsrate aus dem Fach des empfindlichen Personen zu dem Fach von Infektions Individuen, so dass es die Kraft der Infektion genannt. Bei großen Gruppen von übertragbaren Krankheiten ist es realistischer, eine Kraft von Infektionen, die nicht auf der absoluten Zahl der infektiösen Probanden abhängt betrachten, sondern auf deren Anteil:

Capasso und, danach, haben andere Autoren nichtlineare Kräfte der Infektion vorgeschlagen, realistischer modellieren das Ansteckungsprozess.

Die SIR-Modell mit vitalen Dynamik und ständige Bevölkerung

Angesichts einer Bevölkerung gekennzeichnet durch eine Todesrate und Geburtenrate gleich der Sterberate, und wo eine übertragbare Krankheit breitet sich aus. Das Modell ist:

für die gilt:

Auch in diesem Fall können wir eine Basisreproduktionszahl zu definieren:

was sich Schwelleneigenschaften. In der Tat, unabhängig von biologisch sinnvolle Startwerte:

kann man zeigen, dass:

Der Punkt DFE wird als frei von Krankheiten Gleichgewicht, während der Punkt EE wird als von endemischen Gleichgewicht. Da bei heuristisch, kann man zeigen, daß als die durchschnittliche Anzahl von Infektionen, die durch einen einzigen Infektions Subjekt in einer vollständig empfänglich Bevölkerung verursacht gelesen werden kann, bedeutet die obige Beziehung biologisch dass, wenn diese Anzahl kleiner oder gleich als ein die Krankheit bekommen erloschenen , während, wenn diese Anzahl größer als eins ist die Krankheit in der Bevölkerung dauerhaft misch sein.

Variable Kontaktraten und die mehrjährigen oder chaotischen Epidemien

Es ist gut bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit des Erhaltens einer Krankheit nicht in der Zeit konstant ist. Einige Krankheiten sind saisonal, wie die Erkältung Viren, die während des Winters weiter verbreitet sind. Mit Kinderkrankheiten, wie Masern, Mumps und Röteln, gibt es eine starke Korrelation mit der Schule Kalender, so dass während der Schulferien die Wahrscheinlichkeit, eine derartige Erkrankung drastisch abnimmt.

Als Konsequenz für viele Klassen von Krankheiten sollte eine Kraft von Infektion mit periodisch variierenden Kontaktrate betrachten

mit der Periode T gleich einem Jahr.

So wird unser Modell

, Dh eine nichtlineare Satz von Differentialgleichungen mit periodisch variierenden Parametern. Es ist gut bekannt, dass diese Klasse von dynamischen Systemen kann sehr interessant und komplexe Phänomene der nichtlinearen parametrischen Resonanz zu unterziehen. Es ist leicht zu sehen, dass, wenn:

wohingegen, wenn das Integral größer als eins ist die Krankheit wird nicht aussterben, und es kann eine solche Resonanzen sein. Betrachtet man beispielsweise die periodisch variierende Kontaktrate als "Input" des Systems hat man, daß der Ausgang eine periodische Funktion ist, dessen Periode ein Vielfaches der Periode des Eingangs. Dies ermöglichte es, einen Beitrag, um die Poly-jährlichen Epidemien einiger Infektionskrankheiten als Wechselspiel zwischen der Zeit der Kontaktrate Oszillationen und der Pseudo-Periode der gedämpften Schwingungen in der Nähe der endemischen Gleichgewicht erklären, zu geben. Bemerkenswert ist, in einigen Fällen das Verhalten kann auch quasiperiodische oder sogar chaotisch.


Die SIS-Modell

Einige Infektionen, beispielsweise solche von der gewöhnlichen Erkältung und Grippe Behandlungen nicht jede langanhaltende Immunität. Solche Infektionen nicht Immunisierung geben bei der Wiederherstellung von der Infektion und Einzelpersonen werden wieder anfällig.

Wir haben das Modell:

Beachten Sie, dass mit N bezeichnet die Gesamtbevölkerung gilt: Daraus folgt:

dh die Dynamik von Infektions wird durch eine logistische Gleichung ausgeschlossen, so dass:

Glücklicherweise ist es möglich, eine analytische Lösung für dieses Modell, so dass das Basisreproduktionsrate größer ist als eins zu finden. Die Lösung wird als gegebenen

wo ist die endemische infizierten Bevölkerung ,, und. Da das System als geschlossen angenommen, dann ist die anfällig Bevölkerung.


Ausarbeitungen auf dem Grund SIR-Modell

Die MSIR Modell

Für viele Infektionen, einschließlich Masern, werden die Babys nicht in die anfällig Fach geboren sind aber immun gegen die Krankheit in den ersten Lebensmonaten durch Schutz vor mütterlichen Antikörper. Diese zusätzlichen Details kann, indem ein M-Klasse zu Beginn des Modells dargestellt werden.

Trägerstatus

Einige Menschen, die eine ansteckende Krankheit wie Tuberkulose nie vollständig erholen und weiter, um die Infektion zu tragen, während die Krankheit selbst nicht leiden gehabt. Sie können verschieben Sie dann wieder in die Infektionsfach und leiden unter Symptomen oder sie können auch weiterhin andere in ihrer Trägerstatus zu infizieren, die zwar nicht Symptomen leiden. Das bekannteste Beispiel hierfür ist wohl Mary Mallon, der 22 Personen mit Typhus infiziert. Das Trägerfach C markiert

Die SEIR Modell

Für viele wichtige Infektionen gibt es eine signifikante Inkubationszeit, während der das Individuum infiziert wurde, aber noch nicht infektiösen selbst. Während dieser Zeit ist das Individuum in Fach E.

Unter der Annahme, dass die Inkubationszeit ist eine Zufallsvariable mit Exponentialverteilung mit Parameter ein, und auch davon aus, die Anwesenheit von lebenswichtigen Dynamik mit Geburtenrate gleich Todesrate, haben wir das Modell:

Natürlich haben wir das.

Für dieses Modell ist der Basisreproduktionszahl:

Ähnlich wie bei der SIR-Modell, auch in diesem Fall haben wir ein Disease-Free-Gleichgewicht und eine endemische Equilibrium EE, und man kann zeigen, dass unabhängig bilden biologisch sinnAnfangsBedingungen

gilt:

Im Falle eines periodisch variierenden Kontaktrate der Zustand der globalen Attraktivität DFE ist, dass die folgenden linearen Systems mit periodischen Koeffizienten:

stabil ist.


Modellierung Massen Impfprogramme

Die Impfung der Neugeborenen

In Gegenwart eines übertragbaren Krankheiten, ist eine der wichtigsten Aufgaben, die der Tilgung zu über Präventionsmaßnahmen und, wenn möglich, über die Errichtung einer Massenimpfung Programm. Betrachten wir eine Krankheit, für die die Neugeborenen werden mit einer Rate geimpft:

wobei V die Klasse der geimpften Personen. Es ist sofort zu zeigen, dass:

so werden wir mit dem Langzeitverhalten von S und I, für die gilt, dass beschäftigen:

Mit anderen Worten, wenn

in Ausrottung der Krankheit erfolgreich das Impfprogramm ist, im Gegenteil, es wird misch bleiben, wenngleich auf einem niedrigeren Niveau als im Fall der Abwesenheit von Impfungen. Dies bedeutet, dass das mathematische Modell schlägt vor, daß für eine Krankheit, deren Basisreproduktionszahl kann so hoch sein wie 18 Man sollte auf 94,4% der Neugeborenen, um die Krankheit auszurotten impfen.

Impfung und Informationen

Moderne Gesellschaften stehen vor der Herausforderung von "rational" Befreiung, dh die Entscheidung der Familie, um Kinder nicht impfen, als Folge einer "rationalen" Vergleich zwischen dem wahrgenommenen Risiko von Infektionen und davon ab, dass Schäden, die durch den Impfstoff. Um zu beurteilen, ob dieses Verhalten ist wirklich rational, das heißt, wenn sie auch für die Ausrottung der Krankheit führen, kann man einfach davon ausgehen, dass die Durchimpfungsrate ist eine zunehmende Abhängigkeit von der Anzahl der infektiösen Themen:

In einem solchen Fall die Beseitigung erhalten wird:

dh die Grundlinie Impfrate sollte größer als die "Impfpflicht" Schwelle, die im Falle der Befreiung, nicht zu halten. So "rational" Befreiung vielleicht kurzsichtig sein, da es nur auf dem aktuell niedrigen Inzidenz aufgrund der hohen Durchimpfungsrate basiert, anstatt unter Berücksichtigung der künftigen Wiederaufleben der Infektion durch Abdeckung Rückgang.

Die Impfung von Neugeborenen nicht

Falls es sind auch Impfungen nicht Neugeborenen mit einer Geschwindigkeit ρ der Gleichung für die empfindlichen und geimpfte Subjekt dann in folgender Weise modifiziert werden:

was zu der folgenden Tilgung Zustand:

Pulse Impfstrategie

Diese Strategie wiederholt impft eine definierte Alterskohorte in einer empfänglichen Bevölkerung über die Zeit. Mit dieser Strategie wird der Block von empfindlichen Personen dann sofort entfernt, so dass es möglich ist, eine Infektionskrankheit, von der gesamten Bevölkerung zu beseitigen ,,. Alle T Zeiteinheiten ein konstanter Bruchteil p empfänglicher Themen ist in relativ kurzer Zeit geimpft. Dies führt zu den folgenden impulsive Differentialgleichungen für die empfindlichen und geimpften Probanden:

Es ist einfach, dass man durch die I = 0 erhält man, dass die Dynamik der empfänglichen Probanden gegeben durch sehen:

und dass die Beseitigung Bedingung:

Der Einfluss des Alters: Alter strukturierter Modelle

Alter hat einen tiefen Einfluss auf die Ausbreitung der Krankheit Rate in der Bevölkerung, vor allem der Kontaktrate. Dieser Satz fasst die Wirksamkeit der Kontakte zwischen anfällig und Infektions Themen. Unter Berücksichtigung der Alter der Epidemie-Klassen, so dass:

und ihre Dynamik wird nicht beschrieben, wie man denken könnte, von "einfachen" partieller Differentialgleichungen, sondern durch Integro-Differentialgleichungen:

woher:

ist die Kraft der Infektion, die natürlich hängt über die Kontakte der Kernel auf die Interaktionen zwischen dem Alter.

Komplexität wird durch die Anfangsbedingungen für Neugeborene, die einfach für infektiöse und entfernt werden hinzugefügt:

aber das sind nichtlokale für die Dichte der empfänglichen Neugeborene:

wo sind die Fertilität der Erwachsenen.

Außerdem definieren nun die Dichte der Gesamtbevölkerung erhält man:

Im einfachsten Fall ist der Gleich Fertilität in den drei Klassen Epidemie, haben wir, dass in oder auf den demografischen Gleichgewichts die folgende notwendige und hinreichende Bedingung Verknüpfung der Fruchtbarkeit mit der Sterblichkeit halten muss haben:

und die demografische Gleichgewicht

automatisch die Gewährleistung der Existenz des krankheitsfreien Lösung:

Ein Basisreproduktionszahl kann als die spektrale Radius eines geeigneten Funktionsbetreiber berechnet werden.

Deterministische gegenüber stochastischen Epidemie-Modelle

Es ist wichtig zu betonen, dass die deterministische Modelle hier vorgestellten sind gültig nur bei genügend großen Populationen, und als solche sollten mit Vorsicht verwendet werden.

Um genauer zu sein, sind diese Modelle nur im thermodynamischen Limes, wo die Bevölkerung effektiv unendlich gültig. In stochastische Modelle, wird der Langzeit-Gleichgewichtsmisch oben abgeleitet, nicht halten, da es eine begrenzte Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl der infizierten Personen unter einem in einem System. In einem echten System dann kann der Erreger nicht ausbreiten, da kein Host infiziert werden. Aber deter Mean-Field-Modelle ist die Zahl der infecteds annehmen kann real, nämlich nicht-ganzzahlige Werte von infizierten Hosts ist und der Erreger kann noch im System bestehen mit einer endlichen Anzahl von infizierten Wirten, weniger als eine, aber grßer als Null ist.

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