Nabelpunkt

Julitta Rascher April 6, 2016 N 1 0
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In der Differentialgeometrie von Oberflächen in drei Dimensionen, Nabel oder Nabelpunkte sind Punkte auf einer Oberfläche, die lokal sphärisch sind. An solchen Stellen der normale Krümmung in allen Richtungen gleich sind, damit die beiden Hauptkrümmungen gleich sind, und jedes Tangentenvektor ist eine Hauptrichtung. Der Name "Nabel" kommt aus dem Lateinischen Nabel - Nabel.

Nabelpunkte allgemein als isolierte Punkte in dem elliptischen Bereich der Oberfläche auftritt; dh, wenn die Gaußsche Krümmung positiv ist. Für ein Oberflächen mit Geschlecht 0, z.B. ein Ellipsoid, muß es mindestens vier Nabel, eine Folge der Satz von Poincaré-Hopf sein.

Die Kugel ist die einzige Oberfläche mit Nicht-Null-Krümmung in dem jeder Punkt ist Nabel. Ein Flachnabel ist ein Nabel mit Null Gaußsche Krümmung. Der Affensattel ist ein Beispiel für eine Oberfläche mit einem Flachnabel und auf der Ebene jeder Punkt ist ein flacher Nabel.

Die drei wichtigsten Arten von Nabelpunkte sind elliptische Nabel, parabolische und hyperbolische Nabelnabel. Elliptical Nabel haben die drei Kantenlinien, die durch die Nabel und hyperbolische Nabel haben wir nur eine. Parabolischen Nabel sind ein Übergangsgehäuse mit zwei Rippen, von denen eine singulär. Andere Konfigurationen sind für die Übergangsfällen möglich. Diese Fälle entsprechen den D4, D5 und D4 elementaren Katastrophen René Thoms Katastrophentheorie.

Sterne, Zitrone und lemonstar: Nabel kann auch durch das Muster von der Hauptrichtung Vektorfeld auf der Nabel die typischerweise bilden eine von drei Konfigurationen charakterisiert sein. Der Index des Vektorfeldes entweder -½ oder ½. Elliptische und parabolische Nabel haben immer die Stern-Muster, während hyperbolischen Nabel können Sterne, Zitrone, oder monstar sein. Diese Klassifizierung wurde zum ersten Mal durch Darboux und die Namen kommen von Hannay.

Klassifikation der Nabel

Kubischen Formen

Die Klassifizierung der Nabel ist eng mit der Klassifizierung von realen kubischen Formen verbunden. Eine kubische Form wird eine Reihe von Stammleitungen haben, so daß die kubische Form ist Null für alle real. Es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, einschließlich:

  • Drei verschiedene Linien: eine elliptische kubische Form, Standardmodell.
  • Drei Linien, von denen zwei übereinstimm sind: eine parabolische kubische Form, Standardmodell.
  • Eine einzige wirkliche Linie: eine hyperbolische kubische Form, Standardmodell.
  • Drei übereinstimmLeitungen, Standardmodell.

Die Äquivalenzklassen solcher cubics unter einheitlicher Skalierung bilden einen dreidimensionalen reellen projektiven Raum und die Teilmenge der parabolischen Formen definieren eine Oberfläche - der so genannte Nabel Armband von Christopher Zeeman. Unter Äquivalenzklassen unter Rotation des Koordinatensystems entfernt einen weiteren Parameter und eine kubische Form sein kann darstellen durch die komplexe kubischen Form mit einem einzigen komplexen Parameter. Parabolische Formen auftreten, wenn der innere Deltamuskel, sind innerhalb des Deltamuskels und hyperbolische eine außerhalb elliptische Formen. Wenn und kein Kubikwurzel der Einheit wird die kubische Form ist eine rechtwinklige kubische Form, die eine besondere Rolle für die Nabel zu spielen. Wenn dann zwei der Fußlinien orthogonal sind.

Ein zweiter kubischer Form, die Jacobi durch Bildung der Jacobi-Determinante der vektorwertigen Funktion gebildet ,. Bis auf einen konstanten mehrere dies ist die kubische Form. Mit Hilfe komplexer Zahlen die Jacobi ist eine parabolische kubische Form, wenn die Außendeltamuskel in der Klassifizierung Diagramm.

Nabel Klassifizierung

Alle Oberflächen mit einem isolierten Nabelpunkt im Ursprung als Monge Form Parametrierung, in denen ist die einzigartige Hauptkrümmungs ausgedrückt werden. Die Art der Nabelpunkt wird durch die kubische Form aus der kubischen Teil und entsprechenden Jacobi-kubische Form klassifiziert. Während Hauptrichtungen sind nicht eindeutig zu einem Nabelpunkt definiert die Grenzen, wenn nach einem Grat auf der Oberfläche der Hauptrichtungen zu finden sind und an die Root-Linien der kubischen Form diese entsprechen. Das Muster der Krümmungslinien von der Jacobi bestimmt.

Die Klassifizierung von Nabelpunkten ist wie folgt:

  • Innen Innendeltamuskel - elliptische Nabel
    • Am inneren Kreis - zwei Gratlinien Tangente
  • Am inneren Deltamuskel - Parabelnabel
  • Außerhalb inneren Deltamuskel - hyperbolische Nabel
    • Innerhalb äußeren Kreis - Sternchen-
    • Am äußeren Kreis - Geburt von Nabel
    • Zwischen äußeren Kreis und äußeren Deltamuskel - monstar Muster
    • Außerhalb äußeren Kreis - Zitronenmuster
  • Höcker des inneren Deltamuskel - Kubiknabel
  • Auf den Diagonalen und der horizontalen Linie - symmetrische Nabelspiegelsymmetrisch

In einer generischen Familie von Oberflächen können Nabel erstellt werden, oder zerstört, paarweise: die Geburt des Nabel Übergang. Beide Nabel wird hyperbolischen sein, eines mit einem Stern-Muster und eine mit einem monstar Muster. Der äußere Kreis in der Grafik, ein rechter Winkel kubischen Form, bietet diese Übergangsfällen. Symbolischen Nabel sind ein Spezialfall davon.

Brennfläche

Die elliptische und hyperbolische Nabelnabel deutlich unterschiedliche Fokusflächen. Ein Grat auf der Oberfläche entspricht einer cuspidal Kanten, so dass jedes Blatt des elliptischen Brennfläche drei cuspidal Kanten, die an der Nabel Fokus kommen zusammen und wechseln Sie dann zu dem anderen Blatt haben. Für eine hyperbolische Nabel gibt es eine einzige Rückkehrkurve, die von einem Blatt zum anderen wechseln.

Definition in höhere Dimension in Riemannschen Mannigfaltigkeiten

Ein Punkt P in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ist Nabel wenn bei p ist eine gewisse Normalvektor Tensor die induzierte Metrik der zweiten Grundform. In äquivalenter Weise für alle Vektoren U, V bei p, II = gp, wobei die mittlere Krümmungsvektor an p.

Ein Untermannigfaltigkeit wird gesagt, Nabelpunkt, wenn dieser Zustand hält an jedem Punkt "p". Dies ist gleichbedeutend damit, dass das Mannigfaltigkeit kann total geodätischen durch eine geeignete konforme Veränderung der Metrik des umgebenden Verteiler erfolgen. Beispielsweise eine Oberfläche im euklidischen Raum ist Nabelpunkt, wenn und nur wenn es sich um ein Stück einer Kugel.

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