Null Morphismus

Henny Möbius Kann 13, 2016 N 4 0
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In der Kategorie der Theorie, ein Zweig der Mathematik, eine Null Morphismus eine besondere Art von Morphismus Eigenschaften aufweisen wie die Morphismen von und zu einem Null-Objekt.

Begriffsbestimmungen

Angenommen, C ist eine Kategorie, und f: X → Y ein Morphismus in C. Der Morphismus f heißt eine Konstante Morphismus, wenn für jedes Objekt W in C und alle g, h: W → X, fg = fh. Dual dazu ist f genannt coconstant Morphismus, wenn für jedes Objekt in Z C und einer g, h: Y → Z, gf = hf. Ein Null-Morphismus ist eine, die sowohl eine Konstante Morphismus und eine coconstant Morphismus ist.

Eine Kategorie mit Null morphisms ist eine, wo, für jeweils zwei Objekte A und B in C, gibt es eine feste morphism 0AB: A → B, so dass für alle Objekte, X, Y, Z in C und alle morphisms f: Y → Z, g: X → Y, folgende Diagramm kommutiert:

Die Morphismen 0XY notwendigerweise Null sind Morphismen und bilden ein kompatibles System von Null Morphismen.

Wenn C ist eine Kategorie mit Null-Morphismen, dann ist die Sammlung von 0XY einzigartig.

Diese Art, eine "Null-Morphismus" und die Phrase "eine Kategorie mit Null-Morphismen" definieren, getrennt ist bedauerlich, aber wenn jeder homset hat eine "Null-Morphismus", dann die Kategorie "null Morphismen".

Beispiele

  • In der Kategorie der Gruppen ist eine Null Morphismus ein Homomorphismus f: G → H, die alle von G auf das neutrale Element von H.-Pläne Die Null-Objekt in der Kategorie der Gruppen ist die triviale Gruppe 1 = {1}, die einzigartig ist bis auf Isomorphie. Jeder Null Morphismus durch 1 berücksichtigt werden, i. . e, f: G → 1 → H.
  • Allgemeiner ist annehmen C jede Kategorie mit einem Null-Objekt 0. Dann für alle Objekte X und Y gibt es eine eindeutige Sequenz von morphisms
  • Wenn C ist ein preadditive Kategorie, dann wird jeder Morphismus Satz Mor ist eine abelsche Gruppe und hat eine Nullelement daher. Diese Null-Elemente bilden eine kompatible Familie von Null Morphismen für C ist damit in eine Kategorie mit Null-Morphismen.
  • Die Kategorie Set nicht über eine Null-Objekt, aber es hat eine erste Aufgabe, die leere Menge ∅. Die einzig richtige Null Morphismen in Set sind die Funktionen ∅ → X für eine Gruppe X.

Zugehörige Konzepte

Wenn C eine Null-Objekt 0, da zwei Objekte X und Y C gibt kanonische morphisms f: 0 → X und g: Y → 0. Dann ist fg eine Null morphism in MORC. So jede Kategorie mit einem Null-Objekt ist eine Kategorie mit Null-Morphismen durch die Zusammensetzung 0XY gegeben: X → 0 → Y.

Wenn eine Kategorie hat null Morphismen, dann kann man die Vorstellungen von Kernel und Kokern für jeden Morphismus in dieser Kategorie zu definieren.

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