Peano-Kurve

Tina Bürger April 6, 2016 P 0 0
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In der Geometrie ist die Peano-Kurve das erste Beispiel für eine raumfüllende Kurve, entdeckt zu werden, von Giuseppe Peano 1890 Peanos Kurve ist eine kontinuierliche Funktion aus dem Einheitsintervall auf das Einheitsquadrat. Peano wurde von einer früheren Folge der Georg Cantor motiviert, dass diese beiden Gruppen die gleiche Mächtigkeit. Wegen dieses Beispiel einige Autoren verwenden den Begriff "Peano-Kurve", um ganz allgemein auf jede raumfüllende Kurve beziehen.

Construction

Peano-Kurve durch eine Folge von Schritten, wobei der i-te Schritt konstruiert ein Satz Si von Quadraten und einer Sequenz Pi der Zentren der Quadrate konstruiert werden, aus der Menge und Reihenfolge in dem vorherigen Schritt aufgebaut. Als Basisfall, S0 besteht aus der Einheit Quadratmeter und P0 ist die Ein-Element-Sequenz, die aus seinen Mittelpunkt.

In Schritt i jedes Quadrat s Si - 1 wird in neun kleinere gleiche Quadrate unterteilt ist, und dessen Mittelpunkt C ist durch eine zusammenhängende Teilsequenz der Zentren dieser neun kleinere Quadrate abgelöst. Diese Untersequenz wird durch Gruppieren der neun kleinere Quadrate in drei Spalten, Anordnung der Zentren zusammenhängend innerhalb jeder Spalte, und die Spalten von einer Seite des Quadrats zu der anderen Einrichtung, so ausgebildet, dass der Abstand zwischen jedem aufeinanderfolgenden Paar von Punkten in der Teilfolge ist gleich der Seitenlänge der kleinen Quadrate. Es gibt vier solcher Anordnungen möglich:

  • Linke drei Zentren unten nach oben, in der Mitte drei Zentren oben nach unten und rechts drei Zentren unten nach oben
  • Rechts drei Zentren unten nach oben, in der Mitte drei Zentren oben nach unten und links drei Zentren unten nach oben
  • Linke drei Zentren von oben nach unten, drei Zentren unten in der Mitte nach oben und rechts drei Zentren oben nach unten
  • Rechts drei Zentren von oben nach unten, drei Zentren unten in der Mitte nach oben und ließ drei Zentren oben nach unten

Diese vier Ordnungen, die eine für s in einer Weise, dass der Abstand zwischen dem ersten Punkt des Bestell- und seinen Vorgänger in Pi ist auch gleich der Seitenlänge der kleinen Quadrate gewählt. Wenn c war der erste Punkt in seiner Bestellung, dann die erste dieser vier Ordnungen wird für die neun Zentren, die c ersetzen, entschieden.

Peano-Kurve selbst ist die Grenze der Kurven durch die Sequenzen von Rechteckzentren, i gegen unendlich geht.

Varianten

In der Definition der Peano-Kurve ist es möglich, einige oder alle der Schritte, indem die Mittelpunkte jeder Reihe von drei Quadraten zusammenhängend sein, anstatt den Zentren jeder Spalte der Quadrate durchzuführen. Diese Entscheidungen führen zu vielen verschiedenen Varianten der Peano-Kurve.

Die Hilbert-Kurve ist eine einfachere Variante der gleichen Idee, bezogen auf eine Unterteilung in vier gleiche Quadrate kleinere Quadrate statt in neun gleiche kleinere Quadrate.

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