Penrose-Transformation

Ottmar Menger April 7, 2016 P 2 0
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In der mathematischen Physik, die Penrose zu verwandeln, von Roger Penrose eingeführt, ist eine komplexe Analogon des Radon-Transformation, dass bezieht sich masselosen Feldern auf die Raumzeit um Kohomologie von Garben auf komplexen projektiven Raum. Die projektiven Raum betreffende der Twistorraum einen geometrischen Raum natürlich auf den ursprünglichen Raum-Zeit zugeordnet ist, und die Twistor Transformation ist auch im Sinne der Integralgeometrie geometrisch natürlich. Penrose-Transformation ist eine Hauptkomponente der klassischen Twistor Theorie.

Überblick

Abstrakt, die Penrose-Transformation arbeitet mit einem Doppel Faserung eines Raumes Y, verteilt auf zwei Räume X und Z

In der klassischen Penrose zu verwandeln, Y den Spin bundle, X ist ein kompaktifiziert und komplexifizierten Form von Minkowski-Raum und Z der Twistorraum. Allgemeiner Beispiele stammen aus Doppel Faserungen der Form

wobei G eine komplexe halbeinfache Lie-Gruppe und H1 und H2 sind parabolische Untergruppen.

Penrose-Transformation arbeitet in zwei Stufen. Zuerst zurück zieht man die Garbenkohomologie Gruppen H der Garbenkohomologie H auf Y; in vielen Fällen, wo die Penrose-Transformation von Interesse ist, schaltet sich das Pullback aus, um ein Isomorphismus ist. Einer schiebt dann die daraus resultierenden Kohomologie Klassen bis auf X; das heißt, untersucht man das direkte Bild eines Kohomologieklasse mittels der Leray Spektralfolge. Die daraus resultierende direkte Bild wird dann in Form von Differentialgleichungen interpretiert. Im Fall der klassischen Penrose-Transformation sind die resultierenden Differentialgleichungen genau die masselosen Feldgleichungen für eine gegebene Drehung.

Beispiel

Das klassische Beispiel ist wie folgt gegeben

  • Der "Twistorraum" Z ist komplex projektiven 3-Raum CP, die auch die Grassmannsche Gr1 von Linien in 4-dimensionalen komplexen Raum.
  • X = Gr2 die Grassmann von 2-Ebenen in 4-dimensionalen komplexen Raum. Dies ist eine Kompaktifizierung von komplexen Minkowski-Raum.
  • Y ist die Flagge Verteiler, dessen Elemente entsprechen einer Zeile in einer Ebene C.
  • G ist die Gruppe SL4 und H1 und H2 sind die parabolischen Untergruppen zur Festsetzung einer Linie oder eine Ebene, welche diese Zeile.

Die Karten von Y nach X und Z sind die natürlichen Projektionen.

Penrose-Ward-Transformation

Der Penrose-Ward-Transformation ist eine nichtlineare Änderung der Penrose zu verwandeln, von Ward, die holomorphen Vektorbündeln betrifft auf 3-dimensionalen komplexen projektiven Raum CP, Lösungen der selbstdualen Yang-Mills-Gleichungen auf S. Atiyah & amp eingeführt; Ward verwendet diese, um Instant hinsichtlich der algebraischen Vektorbündeln auf komplexe projektive 3-Raum zu beschreiben. Atiyah und erläutert, wie diese verwendet werden, um Instantonen auf einer 4-Kugel zu klassifizieren.

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