Proportional Begründung

Rolff Bohrmann Kann 13, 2016 P 1 0
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Nach Piagets Theorie der geistigen Entwicklung, ist proportional Argumentation eine der Fähigkeiten, wenn voran von der Phase der konkreten Operationen auf die Stufe der formalen Operationen ein Kind erwirbt. Verhältnismäßigkeit ist eine mathematische Beziehung zwischen beiden Größen. In proportional Argumentation, verwendet der einzelnen "das Konzept der Anteile bei der Analyse und Lösung einer mathematischen Situation."

In Mathematik und Physik

In der Mathematik und in der Physik ist der Verhältnismäßigkeit eine mathematische Beziehung zwischen beiden Größen; es kann als eine Gleichheit zweier Verhältnisse ausgedrückt werden:

Funktionell kann Proportionalität eine Beziehung zwischen Variablen, die in einer mathematischen Gleichung. Beispielsweise bei der folgenden Gleichung für die Schwerkraft:

die Schwerkraft zwischen zwei Massen, ist direkt proportional zu dem Produkt der beiden Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes zwischen den beiden Massen.

Intellektuelle Entwicklung

In Piagets Modell der geistigen Entwicklung, ist die vierte und letzte Stufe der formalen Betriebsphase. In der klassischen Buch "Das Wachstum des logischen Denkens von der Kindheit zur Jugend" von Jean Piaget und Bärbel Inhelder formal-operationalen Argumentation nimmt viele Formen an, einschließlich der Schlußfolgern, deduktiven Logik, Trennung und Kontrolle der Variablen, kombinatorische Denken und proportional Argumentation. Robert Karplus, eine Wissenschaft Erzieher in den 1960er und 1970er Jahren untersucht alle diese Formen der Argumentation bei Jugendlichen & amp; Erwachsene. Mr. Tall-Mr.Short war einer seiner Studien.

Beispiele

dh

Umgekehrt proportional

Vergleichbare Argumentation Muster gibt es für umgekehrten Verhältnis.

Wasser Triangle

Jemand mit dem Wissen über die Gegend von Dreiecken könnte Grund: "Zunächst wird der Bereich des Wasser das Dreieck bilden ist seit 12 ½ * 4 * 6 = 12. Die Wassermenge nicht ändert, so dass die Fläche wird sich nicht ändern. Die Antwort ist also 3, weil ½ * 3 * 8 = 12. "

Eine korrekte multiplikative Antwort ist relativ selten. Bei weitem die häufigste Antwort ist so etwas wie: "2 Einheiten, weil der Wasserstand auf der rechten Seite stieg um zwei Einheiten so der Wasserstand auf der linken Seite muss um zwei Einheiten zu verringern und 4 - 2 = 2." Weniger häufig der Grund, für zwei Einheiten ist: "Bevor es eine Gesamtmenge von 10 Einheiten, weil 4 + 6 = 10. Die Gesamtzahl der Einheiten muss gleich bleiben, so die Antwort ist 2, da 2 + 8 = 10."

Also noch einmal gibt es Personen, die nicht an der formalen Betriebsebene sind ein Zusatzstrategie anstatt eine multiplikative Strategie, um einen umgekehrten Verhältnis zu lösen. Und wie die direkt proportional erscheint diese falsche logische Strategie zu den einzelnen zu sein und scheint eine angemessene Antwort zu geben. Die Schüler sind sehr überrascht, wenn sie tatsächlich durchzuführen, das Experiment und kippen Sie das Dreieck, um zu finden, die Antwort ist 3 und nicht 2, wie sie so zuversichtlich vorausgesagt.

Betrachten Sie diese Strategien als Functional Relations

Es sei T die Höhe des Mr. Hoch und S sein die Höhe Herr Kurz, dann kann die korrekte multiplikativen Strategie als T / S = 3/2 ausgedrückt werden können; dies ist ein konstantes Verhältnis gegen. Die falsche Additiv-Strategie kann als T ausgedrückt werden - S = 2; dies ist eine konstante Differenz Beziehung. Hier ist der Graph für diese beiden Gleichungen. Für die numerischen Werte in der Aufgabenstellung beteiligt sind, sind diese Graphen "ähnlich" und es ist leicht zu sehen, warum Menschen betrachten ihre falschen Antworten durchaus sinnvoll.

Betrachten wir nun unsere umgekehrt proportional mit der "Wasser-Dreieck." Sei L die Höhe des Wassers auf der linken Seite sein, und R die Höhe des Wassers auf der rechten Seite ist, dann kann die richtige multiplikative Strategie als L * R ausgedrückt werden = 24; dies ist eine konstante Produkt Verhältnis. Die falsche Additiv-Strategie kann als L + R = 10 ausgedrückt werden; dies ist eine konstante Summe Verhältnis. Hier ist der Graph für diese beiden Gleichungen. Für die numerischen Werte in der Aufgabenstellung beteiligt sind, sind diese Graphen "ähnlich" und es ist leicht zu sehen, warum Menschen betrachten ihre falschen Antworten durchaus sinnvoll.

Unterricht für Proportional Reasoning

Wie jeder erfahrene Lehrerin bestätigen werden, ist es nicht ausreichend, einfach sagen, ein Student seine / ihre Antwort falsch ist und dann weisen Sie den Studenten, um die richtige Lösung zu verwenden. Die falsche Strategie nicht "Unwired im Gehirn", und würde wieder auftauchen, nachdem die aktuelle Lektion abgeschlossen ist.

Auch die Zusatzstoff-Strategien oben erwähnt kann nicht einfach als "falsch", da sie richtig anderen realen Situationen entsprechen beschriftet werden. Betrachten Sie beispielsweise das folgende Problem:

Am Unabhängigkeitstag in diesem Jahr Herr Hoch 6 Jahre alt war, und Mr. Short 4 Jahre alt war. Über eine künftige Independence Day Mr. Short ist 6 Jahre alt. Wie alt wird Herr Hoch an diesem Tag der Unabhängigkeit sein?

Ebenso kann die konstante Summe Bezug richtige für einige Situationen. Betrachten Sie das folgende Problem.

Es gibt vier Biber auf der linken Seite eines Flusses und sechs Biber auf der rechten Seite des Flusses. Zu einem späteren Zeitpunkt mit der gleichen Gruppe von Biber gibt es acht Biber auf der rechten Seite des Flusses. Wie viele Biber gibt es auf der linken Seite sein?

So gibt es Situationen, in denen die additive Beziehungen korrekt sind und andere Situationen, in denen die multiplikative Beziehungen korrekt sind.

Verwendung von Mitmach-Aktionen und Karplus 'Lern-Zyklus

Es ist sehr wichtig, dass die Schüler auf ihre eigenen erkennen, dass ihre aktuellen Modus der Argumentation, sagen, dass es Additiv ist, ist ungeeignet für eine multiplikative Problem, das sie zu lösen versuchen. Robert Karplus entwickelte ein Modell des Lernens er nannte den Lernzyklus, der die Übernahme der neuen Argumentation Fähigkeiten erleichtert.

  • Die erste Phase ist eine der Exploration, in denen Schüler lernen durch ihre eigenen Aktionen und Reaktionen mit minimaler Führung. Die Lernumgebung muss sorgfältig entwickelt, um Studenten die Aufmerksamkeit auf die relevanten Themen konzentrieren werden. Lernende kann einige kognitive Dissonanz erleben, wenn sie ihre bereits bestehenden Strategie nicht beobachteten Ergebnisse entsprechen entdecken. Dies kann zu Fragen, die sie nicht mit ihrer gegenwärtigen Ideen oder Gedankenmuster zu beantworten führen.
  • In der zweiten Phase wird das Konzept vorgestellt und erklärt. Hier der Lehrer ist aktiver und Lernen wird durch Erklärung erreicht.
  • Schließlich wird in der dritten Phase, das Konzept auf neue Situationen angewandt und dessen Anwendbarkeitsbereich wird erweitert. Lernen wird durch Wiederholung und Übung erreicht, so dass neue Ideen und Denkweisen haben Zeit zur Stabilisierung.

Mitmach-Aktionen sind äußerst nützlich bei der Lernzyklus. Nach Vorhersagen über die Höhe der Herr Hoch in Büroklammern können die Messwerkzeuge eingebracht werden und die Schüler können ihre Strategien zu testen. Für den Schüler mit einem konstanten Differenz Verhältnis wird eigentliche Messung zeigen, dass Herr Hoch ist eigentlich neun Büroklammern hoch, und dies wird die Einrichtung einige kognitive Dissonanz.

Das gleiche gilt für die inverse Beziehungen. Hier ist ein Bild von zwei Studenten, die mit dem "Wasser-Dreieck." Angesichts der oben das Problem festgestellt, die meisten Studenten vorherzusagen der Wasserstand auf der linken Seite wird auf zwei Einheiten fallen, wenn der Wasserdreieck gekippt. Wenn sie durchzuführen, das Experiment und sehen, dass die Antwort ist 3 Einheiten, stellt dies eine kognitive Dissonanz. Dies ist eine der Hauptsendezeit der Lehrer den Unterricht in die zweite Stufe des Lernzyklus zu bewegen.

Es ist wichtig, dass die Studenten die multiplikative Strategien, die sie lernen, nicht mehr gelten. Daher einige der Mitmach-Aktionen möglicherweise nicht auf eine multiplikative Beziehung basieren. Hier ist ein Bild von zwei Studenten, die mit einer Vorrichtung, wo die konstante Summe Verhältnis stimmt.

Es ist nicht immer möglich oder durchführbar, sorgfältig entworfen, Mitmach-Aktionen in die Hände der Schüler gelegt. Auch ältere Publikum nicht immer gut reagieren, um mit Hands-on-Experimente. Allerdings ist es oft möglich, kognitive Dissonanz durch Gedankenexperimente vorstellen.

Bestimmen eines Correct Relation Basierend auf Gedankenexperimente

In allen Experimenten oben erwähnt gibt es zwei Variablen, deren Werte sich auf einer festen Beziehung basiert. Betrachten Sie das folgende Problem, das ähnlich dem Herrn Tall and Mr. Short Problem ist.

Hier ist ein Foto von einem Vater und einer Tochter. In diesem Bild ist die Tochter ist 4 cm hoch und der Vater ist 6 cm hoch. Sie beschlossen, das Bild zu vergrößern und in das Gesamtbild der Tochter ist 6 cm hoch. Wie hoch ist der Vater in das größere Bild?

Eine sehr häufige Antwort für eine einzelne Verwendung eines Additivs Relation ist 8 cm, weil der Vater ist immer 2 cm höher als seine Tochter. So, jetzt frage zu diesem Studenten die folgende Frage: Angenommen, sie machten eine sehr kleine Version des ursprünglichen Bildes und in diesem kleinen Bild der Vater ist 2 cm hoch. Wie hoch wird die Tochter in diesem kleinen Bild sein?

Der Schüler merkt schnell, dass die Strategie "der Vater ist immer 2 cm höher als seine Tochter" ist nicht korrekt. Dies kann auch durch die Erkundung der anderen Extrem, wo das Originalbild wird bis zu Postergröße geblasen erreicht werden und die Tochter ist 100 cm hoch. Wie hoch wird der Vater in diesem Plakat sein? Ein Student der Beantwortung 102 cm erkennt, dass der Vater und Tochter sind fast die gleiche Höhe, die nicht richtig sein kann. Sobald kognitive Dissonanz vorhanden ist, kann der Lehrer das richtige Verhältnis, konstante Verhältnis einzuführen.

Außerdem können die Schüler ermutigt werden, ihre eigenen Gedankenexperimente durchzuführen, wie zum Beispiel "Was ist, wenn die Höhe der Tochter verdoppelt sich in einer Vergrößerung, was wird, um die Höhe der Vater passiert?" Die meisten Studenten, auch die noch in der konkreten Betriebsphase wird schnell zu beantworten, dass Höhe des Vaters muss auch verdoppeln. Die abstrakte Gedankenexperiment ist: "Nehmen wir an, eine der Variablen im Wert verdoppelt, wie wird die andere variable Veränderung?" Wenn die Antwort "double", dann kann dies ein konstantes Verhältnis Problem sein. Aber wenn die Antwort nicht doppelt, wie beispielsweise für das Alter Problem mit Mr. Tall and Mr. Short oben angegeben, dann ist es nicht ein konstantes Verhältnis Problem.

Für inverse Beziehungen, wie die "Wasser-Dreieck", können Grenzfälle auch vorstellen kognitive Dissonanz. Beispielsweise:

Angesichts der Anfangsbedingungen mit dem Wasserpegel auf der linken Seite in 4 Einheiten und dem Wasserspiegel auf der rechten Seite auf 6 Einheiten, vorherzusagen, was ist der Wasserstand auf der linken Seite, wenn das Dreieck gekippt wird, bis der Wasserstand auf der rechten Seite ist 10 Einheiten.

Die Studenten werden das Additiv-Strategie zu diesem Zeitpunkt zu realisieren, dass 0 kann nicht die richtige Antwort sein aufzugeben. Ein Gedankenexperiment für inverse Beziehungen durchgeführt werden. Wenn eine Variable verdoppelt sich Wert, was passiert mit den anderen Variablen? Wenn die Antwort ½ dann könnte dies eine konstante Produkt Beziehung sein.

Aufzeichnen der Werte von Variablen kann auch ein wertvolles Hilfsmittel zum Identifizieren, ob zwei Variable direkt proportional sind oder nicht. Wenn sie direkt proportional sind, dann müssen die Werte auf einer geraden Linie und diese Linie ist der Ursprung schneiden.

Ausbau Functional Reasoning

Die vier funktionalen Beziehungen oben erwähnt, konstante Summe, konstante Differenz, konstante Produkt und konstanten Verhältnis, basierend auf den vier arithmetischen Operationen Schüler am meisten vertraut, nämlich Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Die meisten Beziehungen in der realen Welt nicht in eine dieser Kategorien fallen. Allerdings, wenn die Schüler lernen einfache Techniken wie Gedankenexperimente und das Zeichnen von Graphen, werden sie in der Lage, diese Techniken zu komplexeren Situationen anzuwenden.

Wieder betrachten Newtons Gleichung der Schwerkraft:

Wenn ein Student versteht die funktionale Beziehung zwischen den Variablen, dann wird er / sie in der Lage, die folgenden Gedankenexperimente beantworten sollte.

Was würde mit der Kraft der Schwerkraft, wenn geschehen:

  • eine der Massen verdoppelt?
  • eine Masse verdoppelt und die anderen Massen halbiert?
  • beide Massen verdoppelt?
  • beide Massen halbiert?
  • der Abstand zwischen den Massen verdoppelt?
  • der Abstand zwischen den Massen halbieren?

Im allgemeinen Gedankenexperimente muss durch experimentelle Ergebnisse bestätigt werden. Viele Kinder und Erwachsene, wenn aufgefordert, ein Gedankenexperiment auf der Masse eines Objekts und der Geschwindigkeit, mit der es in die Erde fällt könnte sagen, dass, wenn die Masse wird dann verdoppelt das Objekt wird doppelt so schnell fallen, durchzuführen. Allerdings haben Versuchsergebnisse nicht sichern diese "logische" Gedankenexperiment so ist es immer wichtig, dass theoretische Ergebnisse stimmen mit experimentellen Daten.

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