Punkt Prozessnotation

Annelie Etinger April 7, 2016 P 3 0
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In Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik umfasst Punktprozess Schreibweise die Palette der mathematischen Notation verwendet, um symbolisch zufällige Objekte als Punktprozesse, die in verwandten Bereichen wie stochastische Geometrie, räumliche Statistik und Kontinuums Perkolationstheorie sind bekannt und oft dienen als mathematische Modelle von Zufalls Phänomene, darstellbar als Punkte, in Zeit, Raum oder beides.

Die Bezeichnung ändert sich aufgrund der Geschichte der bestimmte mathematische Felder und die unterschiedlichen Interpretationen der Punktprozesse und leiht Notation von mathematischen Bereiche der Studie, wie Maßtheorie und Mengenlehre.

Interpretation der Punktprozesse

Die Notation sowie die Terminologie von Punktprozesse hängt von ihrer Lage und Interpretation als mathematische Objekte, die unter bestimmten Voraussetzungen als ein Random-Sequenzen von Punkten, zufällige Mengen von Punkten oder zufällige Maßnahmen Zählen auszulegen.

Zufallsfolgen der Punkte

In einigen mathematischen Rahmenbedingungen kann eine gegebene Punktprozess als Folge von Punkten mit jedem Punkt nach dem Zufallsprinzip in d-dimensionalen euklidischen Raum R sowie einige andere mehr abstrakten mathematischen Räumen angeordnet betrachtet werden. Im allgemeinen wird, ob eine Zufallsfolge äquivalent zu den anderen Interpretationen eines Punktprozesses hängt von der zugrunde liegenden mathematischen Raum, aber dies gilt auch für die Einstellung der endlichen dimensionalen euklidischen Raum R.

Zufällige Satz von Punkten

Ein Punkt Prozess heißt einfach, wenn keine zwei zusammenfallen in Lage mit Wahrscheinlichkeit eins. Da oft zeigen Prozesse einfach und die Reihenfolge der Punkte ist egal, kann eine Sammlung von zufälligen Punkten als eine zufällige Menge von Punkten Die Theorie der zufälligen Sets wurde unabhängig von David Kendall und Georges Matheron entwickelt betrachtet werden. In Bezug auf die als eine zufällige Menge betrachtet, ist eine Folge von Zufallspunkte eine zufällige abgeschlossene Menge, wenn die Sequenz keine Häufungspunkte mit der Wahrscheinlichkeit eines

Ein Punkt Prozess wird häufig durch einen einzigen Buchstaben bezeichnet ist, zum Beispiel, und wenn der Punkt Prozess wird als zufällige Reihe, dann die entsprechende Notation in Betracht gezogen:

wird verwendet, um anzuzeigen, dass ein zufälliger Punkt ist ein Element des Punktprozesses. Die Theorie der Zufallssätze können zu Punktprozesse aufgrund dieser Interpretation, die neben der Zufallssequenz Interpretation wurde in einem Punkt Prozess führte als schriftliche angewendet werden:

was unterstreicht seine Auslegung entweder als Zufallsfolge oder Random geschlossene Menge von Punkten.

Zufällige Maßnahmen

Um die Anzahl der Punkte in einem gewissen Borel setzen befindet bezeichnen, ist es manchmal geschrieben

wo eine Zufallsvariable und eine Zählung Maßnahme, die die Anzahl der Punkte in einem gewissen Satz gibt. In diesem mathematischen Ausdruck der Punkt Prozess wird durch bezeichnet:

.

Auf der anderen Seite, das Symbol:

stellt die Anzahl der Punkte in der im Rahmen der Zufallsmaßnahmen, einen zu schreiben kann.:

um anzuzeigen, dass es ist die Menge, die Punkte enthält. In anderen Worten kann eine Punktprozesses als statistisches Maß, das eine nicht-negative ganzzahlige Maßnahme Sätze zuweist berücksichtigen. Diese Interpretation hat ein Punktprozess wird für eine zufällige Maßnahme Zählen und den Techniken der zufälligen Maßtheorie bietet eine weitere Möglichkeit, Punktprozesse, die auch induziert die Verwendung der verschiedenen Einträge im Integration verwendet zu studieren und zu messen Theorie als nur ein anderer Name motiviert.

Dual-Notation

Die unterschiedlichen Interpretationen der Punktprozesse als zufällige Sätze und Zählen von Maßnahmen mit dem oft verwendeten Notation, in dem erfasst:

  •  bezeichnet einen Satz von Zufallspunkten.
  •  bezeichnet eine Zufallsvariable, die die Anzahl von Punkten in verleiht.

Bezeichnen wir die Zählmaß wieder bedeutet dies, Dual-Notation:

Beträge

Wenn es einige messbare Funktion auf R, dann ist die Summe über alle Punkte in kann geschrieben werden als:

dem die Zufallsfolge Erscheinung oder kompakter mit Satz Notation wie hat:

oder äquivalent als:

wo ist der Raum aller möglichen Maßnahmen zählen, daher setzen einen Schwerpunkt auf die Auslegung der als Zufalls Maßnahme Zählen. Eine alternative Integrations Notation verwendet, um dieses Integral als zu schreiben:

Die Dual-Interpretation der Punktprozesse veranschaulicht, wenn in einem Satz, wie das Schreiben der Anzahl von Punkten:

wobei die Indikatorfunktion, wenn der Punkt existiert, und andernfalls null, die in diesem Rahmen wird auch als Diracmaß bekannt. In diesem Ausdruck die Zufalls Maßnahme Interpretation ist auf der linken Seite, während der zufälligen Satz Notation verwendet wird, ist auf der rechten Seite.

Erwartungen

Die mittlere oder erwarteten Wert einer Summe von Funktionen über eine Punkt-Prozess geschrieben wird als:

wo eine geeignete Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Raum der Zählung Maßnahmen definiert. Der erwartete Wert kann geschrieben werden als:

die auch als die ersten Moment Maß bekannt ist.

Verwendet in anderen Bereichen

Punktprozesse in anderen mathematischen und statistischen Disziplinen verwendet, daher der Notation kann in Bereichen wie stochastische Geometrie, räumliche Statistik oder Kontinuum Perkolationstheorie, und Bereiche, die die Methoden und Theorie aus diesen Bereichen verwendet werden.

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