Runden

Klemens Münzenberg April 7, 2016 R 14 0
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Runden eines numerischen Wert bedeutet, durch einen anderen Wert, der ungefähr gleich ist, aber einen kürzeren, einfacher oder mehrere explizite Darstellung ersetzt wird; B. Ersetzen £ 23,4476 mit £ 23,45 oder der Fraktion 312/937 1/3 oder die Expression √2 mit 1,414.

Rundung wird oft mit Absicht getan, um einen Wert, der leichter ist, zu schreiben und zu handhaben als das Original zu erhalten. Sie kann auch durchgeführt, um die Genauigkeit einer berechneten Nummer anzugeben; zum Beispiel eine Menge, die so berechnet wurde, aber 123,456 ist bekannt, dass genau sein nur auf wenige hundert Einheiten besser angegeben "etwa 123.500."

Auf der anderen Seite, stellt eine gewisse Rundung Rundungsfehler in der Ergebnisliste. Rundung ist in vielen Berechnungen fast unvermeidlich vor allem, wenn Division zweier Zahlen in Integer oder Festkomma-Arithmetik; bei der Berechnung mathematischer Funktionen wie Quadratwurzeln, Logarithmen und Sinus; oder bei Verwendung eines Fließkommadarstellung mit einer festen Anzahl von Ziffern. In einer Folge von Berechnungen, diese Rundungsfehler in der Regel sammeln sich, und in bestimmten schlecht konditioniert Fällen können sie das Ergebnis bedeutungslos zu machen.

Genaues Runden des transzendentalen mathematischen Funktionen ist schwierig, weil die Zahl der zusätzlichen Ziffern, die berechnet werden müssen, zu lösen, ob auf- oder abrunden können nicht im Voraus bekannt sein. Dieses Problem wird als "Dilemma der Tisch-maker" bekannt.

Rundung hat viele Ähnlichkeiten mit der Quantisierungstabelle, die beim physikalischen Größen ist durch Ziffern oder digitale Signale codiert werden, auftritt.

Eine wellenförmige Gleichheitszeichen wird manchmal zur Abrundung anzugeben. Zum Beispiel: 9,98 ≈ 10.

Arten von Rundungs

Typische Probleme sind Rundungs

  • Annähern eine irrationale Zahl mit einem Bruchteil, beispielsweise durch 22/7 & pi;
  • Annähern einer Fraktion mit periodischen Dezimaldarstellung durch eine endliche Dezimalbruch, beispielsweise 5/3 von 1,6667;
  • Ersetzen einer rationalen Zahl durch eine Fraktion mit kleineren Zähler und Nenner zB 3122/9417 1/3;
  • Ersetzen eines Bruch Dezimalzahl nach dem anderen mit weniger Stellen, beispielsweise 2,1784 Dollar bis 2,18 US-Dollar;
  • Ersetzen einer Dezimalzahl durch eine ganze Zahl mit mehr Nullen, beispielsweise 23.217 Menschen, die von 23.200 Menschen; oder, im Allgemeinen,
  • Ersetzen eines durch ein Vielfaches einer bestimmten Menge, beispielsweise 48,2 Sekunden von 45 Sekunden.

Rundung auf eine bestimmte Schrittweite

Die häufigste Art der Rundung ist es, auf eine ganze Zahl runden; oder, allgemeiner, die einem ganzzahligen Vielfaches eines Schritt wie Rundung auf ganze Zehntelsekunden, hundertstel Dollar, um ganzzahlige Vielfache von 1/2 oder 1/8, um ganze Dutzende oder Tausende usw.

Im allgemeinen Abrunden einer Zahl x ein Mehrfaches von etwa angegebene Schrittweite m beinhaltet die folgenden Schritte:

  • Teilen Sie x durch m, lassen Sie das Ergebnis y ist;
  • Round y auf einen ganzzahligen Wert, nennen es q;
  • Multiplizieren Sie q von m um den gerundeten Wert z zu erhalten.

Zum Beispiel Rundungs ​​x = 2,1784 Dollar auf ganze Cent bringt Rechen y = x / m = 2,1784 / 0,01 = 217,84, dann Rundungs ​​y auf die ganze Zahl q = 218, und schließlich die Berechnung z = q × m = 218 × 0,01 = 2,18.

Beim Runden auf eine vorbestimmte Anzahl von signifikanten Ziffern, das Inkrement m hängt von der Größe der zu rundenden Zahl.

Das Inkrement m ist normalerweise eine endliche Fraktion in eine beliebige Nummer-System, das verwendet wird, um die Zahlen zu repräsentieren. Für die Anzeige auf den Menschen, dass in der Regel bedeutet das Dezimalsystem. Für in digitalen Computern gespeicherten Zwischenwerte, es oft heißt, das binäre Zahlensystem.

Die abstrakte Single-Argument "rund" Funktion, die eine ganze Zahl von einer beliebigen realen Wert zurück hat mindestens ein Dutzend verschiedene konkrete Definitionen in der Rundung präsentiert § integer. Die abstrakte zwei Argumenten Funktion "rund" wird hier formal definiert, aber in vielen Fällen mit dem impliziten Wert m = 1 für die Schrittweite verwendet wird, und dann reduziert auf das Äquivalent abstrakten Einzelargumentfunktion, mit der auch die gleiche Dutzend verschiedener Beton Definitionen.

Rundung auf ganzzahlige

Die grundlegendste Form der Rundung ist, eine beliebige Anzahl durch eine Ganzzahl zu ersetzen. Alle folgenden Rundungsmodi sind konkrete Implementierungen der abstrakten Single-Argument "rund" Funktion vorgestellt und in den vorhergehenden Abschnitten verwendet.

Es gibt viele Möglichkeiten der Rundung einer Anzahl y auf einen ganzzahligen q. Die häufigsten sind

  • abrunden: q ist die größte ganze Zahl, die y nicht übersteigt.
  • aufrunden: q ist die kleinste ganze Zahl, die nicht kleiner als y ist.
  • Runde gegen Null: q ist der ganzzahlige Teil der y, ohne Nachkommastellen.
  • Runde weg von Null: Wenn y eine ganze Zahl ist, q y; sonst q die ganze Zahl, die 0 am nächsten ist und so ist, dass y zwischen 0 und q.
  • Runde auf die nächste: q die ganze Zahl, die am nächsten zu y.

Die ersten vier Methoden aufgerufen gerichteten Rundung, wenn die Verschiebungen von der ursprünglichen Zahl y an den gerundeten Wert q alle zu oder weg von derselben Grenzwert gerichtet.

Wenn y positiv ist, ist Abrundungs ​​die gleichen wie Round-Richtung Null ist, und Round-up ist die gleiche wie Round-away-from-Null. Wenn y negativ ist, das Abrunden der gleiche wie Rund weg-von-Null und round-up ist die gleiche wie Rund Richtung Null. In jedem Fall, wenn y eine ganze Zahl ist, q ist nur y. Die folgende Tabelle veranschaulicht diese Rundungsmethoden:

Wo viele Berechnungen werden sequentiell durchgeführt, kann die Wahl des Rundungsverfahren eine sehr signifikante Wirkung auf das Ergebnis haben. Ein berühmtes Beispiel involviert eine neue Index von der Vancouver Stock Exchange im Jahr 1982. Es wurde ursprünglich auf 1.000,000 eingestellt, und nach 22 Monaten bis zu etwa 520 gefallen war, wohingegen die Aktienkurse waren in der Regel in der Zeit erhöht. Das Problem wurde durch den Index verursacht neu berechnet tausende Male täglich, und immer wieder bis auf 3 Dezimalstellen gerundet, in der Weise, dass die Rundungsfehler akkumuliert. Neuberechnung mit besseren Runden gab einen Indexwert von 1098.892 am Ende den gleichen Zeitraum.

Tie-breaking

Runden einer Zahl y zur nächsten ganzen Zahl erfordert eine Tie-Break-Regel für die Fälle, wenn y ist genau in der Mitte zwischen zwei ganzen Zahlen, das heißt, wenn der Bruchteil von y ist genau 0,5.

Rund die Hälfte bis

Die folgende Tie-Break-Regel, die so genannte runde Halb up, ist weit verbreitet in vielen Disziplinen eingesetzt. Das ist auf halbem Weg Werte y immer aufgerundet.

  • Wenn der Anteil y genau 0,5 ist, dann q = y + 0,5.

Zum Beispiel, die von dieser Regel der Wert 23,5 wird auf 24 aufgerundet, aber -23,5 bis -23 wird aufgerundet.

Doch einige Programmiersprachen definieren HALF_UP so rund die Hälfte weg von Null.

Wenn es nicht für die 0,5-Fraktionen, würden die Rundungsfehler durch die Runde auf die nächste Methode eingeführt werden symmetrisch: für jede Fraktion, die aufgerundet wird, gibt es eine komplementäre Fraktion, die sich um den gleichen Betrag aufgerundet wird. Bei der Rundung eine große Menge von Zahlen mit zufälligen Bruchteile, würden diese Rundungsfehler statistisch kompensieren sich, und der erwartete Wert der gerundeten Zahlen würden gleich dem erwarteten Wert der ursprünglichen Zahlen.

Die runde halbe bis tie-breaking Regel ist jedoch nicht symmetrisch, wie die Fraktionen, die genau 0,5 immer aufgerundet bekommen. Diese Asymmetrie führt eine positive Vorspannung in den Rundungsfehlern. Wenn beispielsweise der Anteil von Y besteht aus drei zufälligen Dezimalziffern, so wird der erwartete Wert von q wird 0,0005 über dem erwarteten Wert von y. Aus diesem Grund, Rund-um-zu-nächst mit dem runden halben bis Regel wird auch als asymmetrische Rundung bekannt.

Ein Grund für die Aufrundung von 0,5 ist, dass für positive Dezimalzahlen, nur die erste Zahl nach dem Komma Bedürfnisse untersucht werden. Zum Beispiel bei der Betrachtung 17,5000 ..., die "5" bestimmt nur, dass die Anzahl sollte in diesem Fall gerundet werden, um 18. Dies gilt nicht für die negativen Dezimalzahlen wie -17,5000 ..., wobei alle Bruchzahlen des Wertes müssen geprüft werden, um festzustellen, ob es sollte auf -17 zu runden, wenn es -17,5000000 oder bis -18, wenn es -17,5000001 oder kleiner.

Rund die Hälfte nach unten

Man kann auch rund die Hälfte nach unten verwenden, im Gegensatz zu den häufigeren runde Halb up.

  • Wenn der Anteil der y ist genau 0,5, dann q = y - 0.5.

Zum Beispiel wird 23,5-23 abgerundet und -23,5 bis -24 wird aufgerundet.

Der runde Hälfte nach unten tie-breaking Regel nicht symmetrisch ist, wie die Fraktionen, die genau 0,5 immer abgerundet bekommen. Diese Asymmetrie führt eine negative Vorspannung in den Rundungsfehler. Wenn beispielsweise der Anteil von Y besteht aus drei zufälligen Dezimalziffern, so wird der erwartete Wert von q wird 0,0005 niedriger als der erwartete Wert von y. Aus diesem Grund, Rund-um-zu-nächst mit dem runden Hälfte nach unten Regel wird auch als asymmetrische Rundung bekannt.

Rund die Hälfte von Null weg

Die andere tie-breaking Verfahren allgemein gelehrt und verwendet wird, ist die Runde die Hälfte weg von Null, und zwar:

  • Wenn der Anteil y genau 0,5 ist, dann q = y + 0,5, wenn Y positiv ist, und q = y - 0,5, wenn y negativ ist.

Zum Beispiel wird 23,5-24 abgerundet und -23,5 bis -24 wird aufgerundet.

Diese Methode behandelt positive und negative Werte symmetrisch und daher frei von Gesamt Bias, wenn die ursprünglichen Zahlen sind positiv oder negativ mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

Es wird oft für Währungsumrechnungen und Preis Rundungen verwendet, da es leicht ist, nur um unter Berücksichtigung der ersten Nachkommastelle zu erklären, unabhängig von ergänzenden Präzisions Ziffern oder Zeichen von der Menge.

Rund die Hälfte gegen Null

Man kann auch um die Hälfte in Richtung Null, im Gegensatz zu der herkömmlichen runden Hälfte weg von Null.

  • Wenn der Anteil y genau 0,5 ist, dann q = y - 0,5, wenn Y positiv ist, und q = y + 0,5, wenn y negativ ist.

Zum Beispiel wird 23,5-23 abgerundet und -23,5 bis -23 wird aufgerundet.

Diese Methode behandelt auch positive und negative Werte symmetrisch und daher frei von Gesamt Bias, wenn die ursprünglichen Zahlen sind positiv oder negativ mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

Rund die Hälfte sogar

Ein Tie-Break-Regel, die weniger vorgespannt ist, ist rund die Hälfte auf einmal, und zwar:

  • Wenn der Anteil der y 0,5 ist, dann ist q die gerade ganze Zahl am nächsten zu y.

So wird beispielsweise +23,5 +24, ebenso +24,5; während -23,5 -24 wird, ebenso wie -24,5.

Diese Methode behandelt positive und negative Werte symmetrisch und ist daher frei von Zeichen Bias. Noch wichtiger ist, eine angemessene Verteilung der y-Werte, ist der erwartete Wert der gerundeten Zahl die gleiche wie die der ursprünglichen Zahlen. Allerdings wird diese Regel eine Richtung-Null-Vorspannung einzuführen, wenn gerade ist, und eine gegen-infinity Bias, wenn es seltsam ist.

Diese Variante der Runde auf den nächstliegenden Verfahren wird auch als nicht vorbelastete Rundung, konvergente Rundung, Statistiker Rundung, Niederländisch Rundung, Gaußschen Rundung, ungerade-gerade Rundung, Banker Rundung oder gebrochen roundingand ist weit verbreitet in der Buchhaltung verwendet.

Dies ist der Standardrundungsmodus in IEEE 754-Computing-Funktionen und Operatoren verwendet.

Rund die Hälfte auf ungerade

Ein ähnliches Band brechende Regel ist rund die Hälfte auf ungerade:

  • Wenn der Anteil der y 0,5 ist, ist Q die ungerade Zahl am nächsten zu y.

So wird beispielsweise +23,5 +23, ebenso wie 22,5; während -23,5 -23 wird, ebenso wie -22,5.

Diese Methode behandelt auch positive und negative Werte symmetrisch und ist daher frei von Zeichen Bias. Noch wichtiger ist, eine angemessene Verteilung der y-Werte, ist der erwartete Wert der gerundeten Zahl die gleiche wie die der ursprünglichen Zahlen. Allerdings wird diese Regel eine Richtung-Null-Vorspannung einzuführen, wenn ungerade ist, und eine gegen-infinity Vorspannung für, wenn es gerade ist.

Diese Variante ist fast nie in Berechnungen verwendet, außer in Situationen, in denen man vermeiden Rundungs ​​0,5 oder -0,5 bis Null will; oder um zu vermeiden, die Erhöhung der Skala von Fließkommazahlen, die eine begrenzte Exponenten Bereich aufweisen. Mit rund die Hälfte auf einmal, würde eine nicht unendliche Zahl bis unendlich runden und einem kleinen denormal Wert würde Runde auf einen normalen Wert ungleich Null. Effektiv dieser Modus lieber die Erhaltung der bestehenden Skala von tie Zahlen außerhalb des Bereichs Ergebnisse zu vermeiden, wenn möglich, auch auf der Grundlage Zahlensysteme.

Stochastic Rundungs

Ein weiterer unvoreingenommene Band brechende Methode ist stochastischen Rundung:

  • Wenn der Bruchteil y is.5 Wählen q zufällig unter y + 0,5 und y - 0,5, mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

Wie rund die Hälfte zu sogar ist diese Regel im Wesentlichen frei von Gesamt Bias; aber es ist auch schön unter geraden und ungeraden q-Werte. Andererseits führt sie eine Zufallskomponente in das Ergebnis; Durchführen der gleichen Berechnung zweimal an den gleichen Daten können zwei unterschiedliche Ergebnisse liefern. Auch ist es offen für unbewusste Voreingenommenheit, wenn Menschen sind "zufällig" zu entscheiden, in welche Richtung zu runden.

Alternierende tie-breaking

Eine Methode, dunkler als die meisten, ist rund die Hälfte abwechselnd.

  • Wenn der Bruchteil ist 0,5, alternative Runde und abrunden: zum ersten Auftreten eines 0,5 Bruchteil, runden; für das zweite Auftreten abrunden; usw. so weiter.

Dies unterdrückt die zufällige Komponente des Ergebnisses, ob das Auftreten von 0,5 Bruchteile effektiv zu nummerieren. Aber es kann immer noch eine positive oder negative Bias einführen entsprechend der Richtung der Rundung auf den ersten Ausprägung zugewiesen, wenn die Gesamtzahl des Auftretens ungerade ist.

Dithering und Fehlerdiffusion

Beim Digitalisieren von kontinuierlichen Signalen, beispielsweise Bilder oder Ton, ist die Gesamtwirkung einer Anzahl von Messungen wichtiger als die Genauigkeit der einzelnen Messung. Unter diesen Umständen Dithering und eine verwandte Technik, Fehlerdiffusion, werden normalerweise verwendet. Eine verwandte Technik, die als Pulsweitenmodulation verwendet wird, um analoge Ausgangstyp aus einer Trägheitsvorrichtung durch schnelles Pulsen der Leistung mit einem variablen Tastverhältnis zu erzielen.

Fehlerdiffusion versucht, den Fehler zu gewährleisten im Durchschnitt minimiert wird. Beim Umgang mit einer leichten Steigung von Eins auf Null würde die Ausgabe Null für die ersten paar Begriffe, bis die Summe der Fehler und der aktuelle Wert größer als 0,5 wird, wobei eine 1 ausgegeben wird und die Differenz aus dem Fehler subtrahiert, so weit. Floyd-Steinberg-Dithering ist eine beliebte Fehlerdiffusionsverfahren bei der Digitalisierung von Bildern.

Rundung auf einfache Fraktionen

In einigen Zusammenhängen ist es wünschenswert, eine gegebene Zahl x zu einem "ordentlichen" -Fraktion, die, ist der nächste Bruchzahl z = m / n, dessen Zähler und Nenner m n nicht einen bestimmten Maximalwert nicht überschreiten, zu runden. Dieses Problem ist ziemlich verschieden von dem der Rundung eines Wertes in einen festen Wert oder Binärziffern auf ein Vielfaches einer gegebenen Einheit m. Dieses Problem hängt mit Farey-Sequenzen, die Stern-Brocot-Baum und setzte Fraktionen zusammen.

Skaliert Rundungs

Diese Art der Rundung, die auch bezeichnet wird Rundung auf einer logarithmischen Skala, ist eine Variante der Rundung auf eine angegebene Schrittweite. Rundung auf einer logarithmischen Skala wird berechnet, indem das Protokoll der Menge und tut normalen Rundung auf den nächstliegenden Wert auf der Log-Skala erreicht.

Beispielsweise Widerstände mit den bevorzugten Zahlen auf einer logarithmischen Skala geliefert. Zum Beispiel für die Widerstände mit 10% Genauigkeit sie mit Sollwerten versorgt 100, 121, 147, 178, 215 usw. Wenn eine Berechnung zeigt einen Widerstand von 165 Ohm erforderlich ist, dann log = 2,167, log = 2,217 log = 2,250. Der Logarithmus 165 ist näher zu dem Logarithmus von 178 somit ein 178-Ohm-Widerstand würde die erste Wahl sein, wenn es keine anderen Erwägungen.

Rund um verfügbare Wert

Fertige Holz, Schreibpapier, Kondensatoren, und viele andere Produkte sind in der Regel in wenigen Standard-Größen verkauft.

Viele Design-Verfahren beschreiben, wie Sie einen Näherungswert zu berechnen, und dann "rund" bis zu einem gewissen Standard-Größe mit Phrasen wie "Abrunden zur nächsten Standardwert", "Runde bis zum nächsten Standardwert" oder "Runde auf die nächste Standardwert" .

Wenn ein Satz von bevorzugten Werten gleichmäßig auf einer logarithmischen Skala beabstandet sind, die Wahl der am nächsten bevorzugten Wert auf jeden gegebenen Wert kann als eine Art von skalierten Rundungs ​​gesehen werden. Solche "abgerundet" Werte direkt berechnet werden.

Gleitkommazahlen Rundungs

In Gleitkommaarithmetik zielt Rundung auf einen gegebenen Wert x in einen Wert Z mit einer bestimmten Anzahl von signifikanten Stellen zu drehen. In anderen Worten, sollte z ein Vielfaches einer Zahl m, die von der Grße von x abhängt. Die Zahl m eine Potenz der Basis des Fließkommadarstellung.

Abgesehen von diesem Detail, gelten alle Varianten der Rundung oben diskutierten über die Rundung der Gleitkommazahlen als gut. Der Algorithmus für eine solche Rundung wird im skalierten Verrundungsabschnitt oben präsentiert, sondern ein konstanter Skalierungsfaktor s = 1 und eine ganze Zahl zur Basis b & gt; 1.

Bei Ergebnissen, wo das gerundete Ergebnis würde das Ergebnis Lauf für eine gerichtete Rundung entweder die entsprechende signiert Unendlich oder die höchste darstellbare positive endliche Anzahl, abhängig von der Richtung der Rundung. Das Ergebnis der einen Überlauf für den üblichen Fall von runden, auch immer die geeignete unendlich.

Darüber hinaus, wenn das gerundete Ergebnis einen Unterlauf, das heißt, wenn der Exponent wäre die niedrigste darstellbare ganzzahligen Wert überschreitet, kann die effektive Ergebnis entweder Null oder die kleinste darstellbare positive endliche Anzahl, möglicherweise ein denormal positive oder negative Zahl, abhängig von der Richtung von Rundungen. Das Ergebnis eines Unterlaufs zum üblichen Fall von runden, auch stets die entsprechende Null.

Doppelrundungs

Runden einer Zahl zweimal nacheinander auf unterschiedliche Genauigkeiten, wobei letztere Präzision gröber wird nicht garantiert, dass das gleiche Ergebnis wie einmal Rundung auf die Endgenauigkeit außer bei der gerichteten Rundung zu geben. Zum Beispiel Rundungs ​​9.46 auf eine Dezimalstelle gibt 9,5, und dann 10, wenn eine Rundung auf ganzzahlige mit Rundungshalb, auch, würde aber bei 9 abgerundet, um direkt Ganzzahl eingeben.

In Martinez v. Allstate und Sendejo v. Landwirte, zwischen 1995 und 1997 prozessiert, argumentierte die Versicherungsgesellschaften, dass Doppelrundungs ​​Prämien zulässig war und in der Tat erforderlich. Die US-Gerichte entschieden gegen die Versicherungsunternehmen und befahl ihnen, Vorschriften zu erlassen, um Einzel Rundung zu gewährleisten.

Einige Computersprachen und der IEEE 754-2008 Standard vorschreiben, dass in einfachen Berechnungen das Ergebnis sollte nicht zweimal aufgerundet. Dies war ein besonderes Problem bei Java wie es zur gleich auf verschiedenen Maschinen ausgeführt werden wird, sind spezielle Programmier Tricks eingesetzt wurden um diese mit x87 Gleitkomma erzielen. Die Java-Sprache wurde geändert, um unterschiedliche Ergebnisse, wo der Unterschied spielt keine Rolle, und erfordern eine strictfp Qualifier verwendet werden, wenn die Ergebnisse haben, genau zu entsprechen zu ermöglichen.

Exakte Berechnung mit abgerundeten arithmetischen

Es ist möglich, abgerundeten arithmetischen verwenden, um den exakten Wert einer Funktion mit einem diskreten Bereich und den Bereich zu bewerten. Zum Beispiel, wenn wir wissen, dass eine ganze Zahl n ist ein perfekter Platz, wir ihre Quadratwurzel durch Umwandlung n zu einer Fließkommawert x, der Berechnung der ungefähren Quadratwurzel y von x Gleitkomma und dann Abrunden y, um die Berechnung nächste ganze Zahl q. Wenn n nicht zu groß ist, wird die Fließkommarundungsfehler in y weniger als 0,5 sein, so dass der gerundete Wert q wird die genaue Quadratwurzel von n sein. In den meisten modernen Rechnern kann dieses Verfahren wesentlich schneller als die Berechnung der Quadratwurzel von n von einem all-ganzzahligen Algorithmus.

Der Tisch-maker Dilemma

William Kahan prägte den Begriff "Dilemma der Tabelle-Maker" für den unbekannten Kosten der Rundungs ​​transzendenten Funktionen:

Die IEEE-Gleitkomma-Standard garantiert, dass, fügen Sie subtrahieren, multiplizieren, dividieren, Quadratwurzel und Gleitkomma-Rest wird den ordnungsgemäß gerundete Ergebnis der unendlichen Präzision Betrieb zu geben. Einer solchen Garantie wurde in der 1985-Standard für komplexere Funktionen gegeben, und sie sind in der Regel nur mit einer Genauigkeit von dem letzten Bit im besten Fall. Doch die 2008-Standard garantiert, dass konforme Implementierungen korrekt gerundete Ergebnisse, die die aktive Rundungsmodus respektieren geben; Implementierung der Funktionen ist jedoch optional.

Verwenden des Gelfond-Schneider Theorem und Lindemann-Weierstraß viele der klassischen elementaren Funktionen können sich als transzendentale Ergebnisse angezeigt werden, wenn angesichts rational nicht null Argumente; daher ist es immer möglich, korrekt Rund solche Funktionen. Jedoch ist die Festlegung einer Grenze für eine gegebene Genauigkeit ab, wie genau Ergebnisse müssen berechnet werden, bevor eine korrekt gerundete Ergebnis gewährleistet werden kann, kann viel Rechenzeitverbrauch.

Einige Pakete bieten korrekte Rundung. Die Mpfr Paket gibt richtig abgerundeten beliebiger Genauigkeit Ergebnisse. Einige andere Bibliotheken zu implementieren elementaren Funktionen mit korrekter Rundung in doppelter Genauigkeit:

  • IBM libultim, in der Rundung auf nur am nächsten.
  • Sun Microsystems ist libmcr, in den 4 Rundungsmodi.
  • CRlibm im Arénaire Team geschrieben. Es unterstützt die 4 Rundungsmodi und bewiesen.

Existieren berechenbaren Zahlen, die ein gerundeter Wert niemals egal wieviele Ziffern werden, ermittelt werden. Besonderen Fällen kann nicht gegeben werden, aber das ergibt sich aus der Unentscheidbarkeit des Halteproblem. Zum Beispiel, wenn der Goldbach-Vermutung ist wahr, aber unbeweisbar, dann ist das Ergebnis von Rundungen den folgenden Wert auf die nächste ganze Zahl nicht bestimmt werden kann: 10, wobei n die erste ist gerade Zahl größer als 4, die nicht die Summe von zwei Primzahlen, oder 0 wenn es keine solche Nummer. Das Ergebnis ist 1, wenn eine solche Nummer existiert und 0, wenn diese Nummer nicht besteht. Der Wert vor der Rundung kann jedoch zu einem bestimmten Präzision, auch wenn die Vermutung unbeweisbar angenähert werden.

Geschichte

Das Konzept der Rundung ist sehr alt, vielleicht sogar älter als das Konzept der Division. Einige alte Tontafeln in Mesopotamien gefunden enthalten Tabellen mit gerundeten Werten Kehr und Quadratwurzeln in Basis 60 Abgerundete Annäherungen an pgr, die Länge des Jahres, und die Länge des Monats sind auch alte see Basis 60 # Beispiele.

Die Round-to-even-Methode wurde als der ASTM-Norm seit 1940 Der Ursprung der Begriffe nicht vorbelastete Rundung und Statistiker Rundung serviert werden, sind ziemlich selbsterklärend. In der 1906 4. Ausgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Fehlertheorie Robert Simpson Woodward nannte diese "Regel des Computers", was anzeigt, dass es dann im allgemeinen Gebrauch durch menschliche Computern, die berechneten mathematischen Tabellen. Churchill Eisenhart zeigte die Praxis wurde bereits in der Datenanalyse durch den 1940er Jahren "gut etabliert".

Der Ursprung des Begriffs Banker Rundung bleibt Unbekannter. Wenn diese Rundungsmethode war immer ein Standard in Banken, hat die Beweise sehr schwer zu finden bewährt. Im Gegenteil, Abschnitt 2 des Berichts der Europäischen Kommission die Einführung des Euro und die Rundung von Währungsbeträgen suggeriert, dass es zuvor von Rundungen in Banken es keine Standard-Ansatz; und es gibt an, dass "halbwegs" Beträge aufgerundet.

Bis in die 1980er Jahre wurde das in Fließkomma-Arithmetik-Computer verwendet Rundungsmethode in der Regel von der Hardware, schlecht dokumentiert, inkonsistent und für jede Marke und Modell des Computers festgelegt. Diese Situation nach dem IEEE 754 Floating-Point-Standard geändert wurde von den meisten Computer-Hersteller übernommen. Der Standard ermöglicht es dem Benutzer unter mehreren Rundung Modi wählen und jeweils angibt, wie genau die Ergebnisse sollten abgerundet sein. Diese Eigenschaften machte numerische Berechnungen vorhersehbarer und maschinenunabhängig und ermöglicht die effiziente und konsequente Umsetzung der Intervallarithmetik.

Rundungsfunktionen in Programmiersprachen

Die meisten Programmiersprachen bieten Funktionen oder spezielle Syntax, um Bruchzahlen auf verschiedene Weise zu runden. Die frühesten numerischen Sprachen wie FORTRAN und C, würde nur ein Verfahren, in der Regel Abschneiden bereitzustellen. Diese Standardmethode konnte in bestimmten Zusammenhängen, wie beispielsweise bei der Zuweisung eines Bruchzahl einer ganzzahligen Variablen oder mit einem Bruchzahl als Index einer Anordnung impliziert. Andere Arten von Rundungs ​​musste explizit programmiert werden; B. Rundungs ​​eine positive Zahl zur nächsten ganzen Zahl kann durch Zugabe von 0,5 und Abschneiden durchgeführt werden.

In den letzten Jahrzehnten jedoch die Syntax und / oder die Standardbibliotheken von den meisten Sprachen haben häufig vorgesehen zumindest die vier Grundrundungsfunktionen. Den Stichmethode kann je die Sprache und Version unterscheiden, und / oder kann durch den Programmierer ausgewählt werden. Mehreren Sprachen folgen die Führung des IEEE-754 Floating-Point-Standard, und diese Funktionen definieren, die ein mit doppelter Genauigkeit float Argument und gibt das Ergebnis des gleichen Typs, die dann in eine Ganzzahl konvertiert falls notwendig werden. Da die IEEE Format mit doppelter Genauigkeit hat 52 Bruchstücke, kann dieser Ansatz unechten Überläufe in Sprachen mit 32-Bit-Ganzzahlen zu vermeiden. Einige Sprachen wie PHP, bieten Funktionen, die einen Wert in eine festgelegte Anzahl von Dezimalstellen, zB runden vom 4321.5678 um 4321,57 oder 4300. Darüber hinaus sind viele Sprachen eine printf oder ähnliche Zeichenfolge Formatierungsfunktion, die man, um eine Bruchzahl in einen String zu einer vom Benutzer angegebenen Anzahl von Dezimalstellen gerundet konvertieren. Auf der anderen Seite, ist immer noch das Abschneiden von vielen Sprachen verwendet, vor allem für die Division von zwei Integer-Werte Standardrundungsmethode.

Auf der gegenüberliegenden, weiß CSS und SVG keine spezifische maximale Präzision für Zahlen und Messungen, die behandelt werden und in ihrem DOM und in ihrer IDL-Schnittstelle als Strings, als hätten sie unendlicher Genauigkeit und nicht zwischen Ganz- und Fließkomma Diskriminierung ausgesetzt zu definieren Werte; Allerdings wird die Implementierung dieser Sprachen in der Regel konvertieren Sie die Nummer in IEEE-754-Doppel Floating Punkten vor der Belichtung der berechneten Ziffern mit einer begrenzten Genauigkeit.

Andere Rundungs ​​Standards

Einige Disziplinen oder Institutionen haben Normen oder Richtlinien für die Rundung ausgestellt.

US-Wetterbeobachtungen

In Leitlinie Mitte 1966 erteilt, die US-Amt der Bundeskoordinator für Meteorologie festgestellt, dass Wetterdaten sind auf die nächste runde Zahl "Rund um die Hälfte" Tie-Break-Regel aufgerundet werden, mit dem. So sollten beispielsweise 1,5 gerundet auf ganze Zahl 2 zu werden, und -1,5 sollte geworden -1. Bis zu diesem Zeitpunkt, die Tie-Break-Regel war "rund die Hälfte weg von Null".

Negative Null in der Meteorologie

Einige Meteorologen kann schreiben "-0", um eine Temperatur zwischen 0,0 und -0,5 Grad, die abgerundet wurde in Ganzzahl anzugeben. Diese Bezeichnung wird verwendet, wenn das negative Vorzeichen wird als wichtig angesehen, egal wie klein der Betrag; zum Beispiel, wenn Rundungs ​​Temperaturen in der Celsius-Skala, in denen unter Null zeigt an, Einfrieren.

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