Schwartz Raum

Norman Langhof April 7, 2016 S 51 0
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In der Mathematik ist Schwartz Raum die Funktion Raum von Funktionen, deren sämtliche Derivate rasch abnimmt. Dieser Raum hat die wichtige Eigenschaft, daß die Fourier-Transformation ist eine automorphism zu diesem Raum. Diese Eigenschaft ermöglicht es, durch die Dualität, zu definieren, die Fourier-Transformation für die Elemente in der Dualraum von S, das heißt, für temperierte Distributionen. Die Schwartz Raum wurde zu Ehren von Laurent Schwartz von Alexander Grothendieck benannt. Eine Funktion in der Schwartzraum wird manchmal als Schwartz-Funktion.

Definition

Die Schwartz Raum oder Raum der schnell abnehmenden Funktionen auf R ist die Funktion Raum

wo α, β sind Multi-Indizes ist, C die Menge der glatten Funktionen von R bis C und

Hier bezeichnet sup das Supremum, und wir verwenden Multiindex erneut.

Um gemeinsame Sprache dieser Definition setzen, könnten wir feststellen, dass eine rasch abnehmende Funktion ist im Wesentlichen eine Funktion f, so daß f, f ', f' ', ... und das alles gibt es überall auf R und gehen gegen Null x → ± ∞ schneller als jede inverse Potenz von x. Insbesondere ist S ein Unterraum des Veranstaltungsfläche C unendlich glatte Funktionen.

Beispiele für Funktionen in der Schwartzraum

  • Wenn i eine Mehrindex und a eine positive reelle Zahl, dann
  • Jede glatte Funktion f mit kompaktem Träger ist in S. Dies ist klar, da jede Ableitung von f ist stetig und in der Unterstützung von f unterstützt, so dass f ein Maximum in R von der extremen Wertsatz.

Immobilien

  • S ist ein Fréchet Raum über den komplexen Zahlen.
  • Von Leibniz-Regel folgt, dass S ist auch unter punktweise Multiplikation geschlossen: wenn f, g ∈ S, dann fg ∈ S.
  • Wenn 1 ≤ p ≤ ∞, dann S ⊂ L.
  • Der Raum aller Bump-Funktionen, C∞
    c, wird in S. inbegriffen
  • Die Fourier-Transformation ein linearer Isomorphismus S → S.
  • Wenn f ∈ S, dann ist f gleichmäßig stetig auf R.
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