In arithmetischen Geometrie, die Selmer-Gruppe, zu Ehren der Arbeit von Selmer von Cassels genannt, ist eine Gruppe von einem Isogenie der abelschen Varietäten aufgebaut. Die Selmer Gruppe einer abelschen Varietät A in Bezug auf eine Isogenie f: A → B von abelschen Varietäten können in Bezug auf Galoiskohomologie definiert werden als
wo Av bezeichnet die f-Torsion der Av und ist die lokale Kummer Karte. Beachten Sie, dass isomorph zu. Geometrisch, die Haupt homogene Räume, die aus Elementen der Selmer Gruppe haben Kv-rationalen Punkte für alle Orte, v von K. Die Selmer-Gruppe ist endlich. Dies bedeutet, dass der Teil der Tate-Shafarevich Gruppe f getötet endlich ist aufgrund des folgenden genaue Reihenfolge
Die Selmer-Gruppe in der Mitte der genauen dieser Sequenz ist endlich und effektiv berechenbar. Dies impliziert die schwache Mordell-Weil-Theorem, das seine Untergruppe B / w (A) ist endlich. Es ist ein notorischer Problem, ob diese Untergruppe können wirksam berechnet werden: gibt es ein Verfahren für die Berechnung ist es, die mit der richtigen Antwort zu beenden wird, wenn es eine Primzahl p derart, dass die p-Komponente der Tate-Shafarevich Gruppe ist endlich. Es wird vermutet, dass die Tate-Shafarevich-Gruppe ist in der Tat endlich ist, in welchem Fall jede Primzahl p funktionieren würde. Wenn jedoch die Tate-Shafarevich Gruppe hat eine unendliche p-Komponente für jede Primzahl p, so kann die Prozedur nicht beendet.
Ralph Greenberg hat den Begriff der Selmer Gruppe auf allgemeinere p-adische Galoisdarstellungen und p-adische Variationen der Motive im Kontext der Iwasawa Theorie verallgemeinert.
