Sierpinski-Dreieck

Ingo Gossen Kann 13, 2016 S 3 0
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Das Sierpinski-Dreieck, auch genannt die Sierpinski Dichtung oder der Sierpinski Sieve, ist ein Fraktal und attraktiven Fest mit der Gesamtform eines gleichseitigen Dreiecks, rekursiv in kleinere Dreiecke unterteilt eingestellt gleichseitigen. Ursprünglich als Kurve ausgebildet ist, ist dies eine der grundlegenden Beispiele für selbstähnlichen Sets, also eine mathematisch erzeugte Muster reproduzierbar bei jeder Vergrößerung oder Verkleinerung werden können. Es ist nach dem polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński benannt, aber erschien als ein dekoratives Muster viele Jahrhunderte vor der Arbeit der Sierpiński.

Baufirmen

Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten zum Konstruieren des Sierpinski Dreiecks.

Entfernen von Dreiecken

Das Sierpinski-Dreieck kann aus einem gleichseitigen Dreieck durch wiederholte Entfernung von dreieckigen Untergruppen aufgebaut werden:

  • Beginnen mit einem gleichseitigen Dreieck.
  • Unterteilen sie in vier kleinere kongruente gleichseitige Dreiecke und entfernen Sie die mittlere.
  • Schritt 2 mit jedem der verbleibenden kleineren Dreiecke

Jeder entfernt Dreieck ist topologisch eine offene Menge. Dieser Prozess rekursiv Entfernen Dreiecke ist ein Beispiel einer endlichen Unterteilungsregel.

Schrumpfen und Vervielfältigung

Die gleiche Folge von Formen, konvergieren zur Sierpinski Dreieck kann alternativ durch die folgenden Schritte erzeugt werden:

  • Beginnen Sie mit jedem Dreieck in einer Ebene. Die kanonische Sierpinski Dreieck verwendet ein gleichseitiges Dreieck mit einer Basis parallel zu der horizontalen Achse.
  • Shrink das Dreieck, um ½ Höhe und Breite ½, stellen drei Exemplare, und positionieren Sie die drei geschrumpften Dreiecke, so dass jeder Dreiecks berührt die beiden anderen Dreiecke an einer Ecke. Beachten Sie die Entstehung der zentralen Öffnung - weil die drei geschrumpften Dreiecke zwischen ihnen decken nur 3/4 der Fläche des ursprünglichen.
  • Schritt 2 mit jedem der kleineren Dreiecke.

Beachten Sie, dass dieser unendliche Verfahren ist nicht abhängig von der Ausgangsform ein Dreieck ist es nur klarer so. Die ersten paar Schritte ab, beispielsweise von einem Quadrat neigen auch zu einer Sierpinski Dreieck. Michael Barnsley benutzt ein Bild von einem Fisch, dies in seiner Arbeit zu veranschaulichen "V-variable Fraktale und superfractals."

Die tatsächliche Fraktal ist, was nach einer unendlichen Anzahl von Iterationen erhalten werden. Formal beschreibt man es in Bezug auf die Funktionen auf geschlossene Sätze von Punkten. Wenn wir beachten Sie die Erweiterung um den Faktor ½ um einen Punkt ein, dann das Sierpinski Dreieck mit Ecken a, b, und c die festen Satz von der Transformation U U. lassen

Dies ist eine attraktive festen Satz, so dass, wenn der Betrieb zu einem anderen Satz wiederholt angewendet, die Bilder laufen auf dem Sierpinski-Dreieck. Dies ist, was mit dem Dreieck oben passiert, aber jeder andere Satz ausreichen würde.

Chaos Spiel

Wenn man zufällig nimmt einen Punkt und gilt jede der Transformationen ,, und es werden die resultierenden Punkte dicht im Sierpinski Dreieck, so dass der folgende Algorithmus wieder zu erzeugen beliebig nahe Annäherungen an sie:

Beginnen Sie mit der Kennzeichnung P1, P2 und P3, wie die Ecken des Sierpinski-Dreieck und einem beliebigen Punkt v1. Set vn + 1 = ½, wobei Rn eine Zufallszahl ist 1, 2 oder 3. Zeichne die Punkte V1 bis v∞. Wenn der erste Punkt v1 war ein Punkt auf dem Sierpinski-Dreieck, dann alle Punkte VN auf dem Sierpinski Dreiecks liegen. Wenn der erste Punkt v1 zu liegen innerhalb des Umfangs des Dreiecks ist kein Punkt auf der Sierpinski Dreieck wird keiner der Punkte vn am Sierpinski Dreiecks liegen, sie werden jedoch auf das Dreieck zu konvergieren. Wenn v1 ist außerhalb des Dreiecks, ist der einzige Weg vn auf dem tatsächlichen Dreieck landen wird, wenn vn ist, was Teil des Dreiecks, wenn das Dreieck war unendlich groß.

Oder einfacher:

  • Nehmen Sie in einer Ebene 3 Punkte, um ein Dreieck zu bilden, müssen Sie nicht ziehen Sie es.
  • Nach dem Zufallsprinzip wählen Sie eine beliebige Stelle innerhalb des Dreiecks und der Ansicht, dass die aktuelle Position.
  • Nach dem Zufallsprinzip wählen Sie eine der drei Scheitelpunkte.
  • Bewegen Sie die Hälfte der Strecke von Ihrer aktuellen Position zu dem ausgewählten Eckpunkt.
  • Zeichnen Sie die aktuelle Position.
  • Wiederholen Sie ab Schritt 3.

Hinweis: Diese Methode wird auch als das Chaos-Spiel, und ist ein Beispiel für eine iterierte Funktionssystem. Sie können von jedem Punkt außerhalb oder innerhalb des Dreiecks zu starten, und es würde schließlich bilden die Sierpinski Dichtung mit ein paar übrig gebliebenen Punkte. Es ist interessant, diese mit Bleistift und Papier zu tun. Ein kurzer Abriss wird nach der Platzierung rund hundert Punkten gebildet wird, und Detail beginnt, nach einigen hundert angezeigt.

Arrowhead Kurve

Eine weitere Konstruktion für die Sierpinski Dreieck zeigt, dass es als eine Kurve in der Ebene aufgebaut werden. Es wird durch ein Verfahren des wiederholten Modifizierung einfacher Kurven analog zur Konstruktion des Koch Flocke gebildet:

  • Beginnen mit einem einzigen Liniensegment in der Ebene
  • Wiederholtes Ersetzen jedes Liniensegment der Kurve mit drei kürzere Segmente bilden 120º Winkeln an jeder Verbindungsstelle zwischen zwei aufeinanderfolgenden Segmenten, wobei die ersten und letzten Segmente der Kurve entweder parallel zu dem ursprünglichen Liniensegment und Bilden einer Winkel von 60 ° mit ihr.

Das resultierende fraktalen Kurve wird als Sierpiński Pfeilspitzenkurve, und seine Begrenzungsform ist das Sierpinski Dreieck.

Zelluläre Automaten

Das Sierpinski-Dreieck erscheint auch in bestimmten zellulären Automaten, auch solcher für die Conways Spiel des Lebens. Zum Beispiel wird die Lebensdauer artigen zellulären Automaten Automaten B1 / S12, wenn auf eine Zelle angewandt vier Approximationen der Sierpinski Dreieck zu erzeugen. Die Raum-Zeit-Diagramm eines Replikatormuster in einem zellulären Automaten auch ähnelt oft einem Sierpinski Dreieck.

Pascals Dreieck

Wenn einer Pascalschen Dreieck mit 2 Zeilen und Farben die geraden Zahlen weiß, und die ungeraden Zahlen schwarz dauert, das Ergebnis ist eine Annäherung an die Sierpinski-Dreieck. Genauer gesagt, die Grenze für n gegen unendlich geht dieser Parität farbenen 2-reihige Pascal Dreieck ist das Sierpinski Dreieck.

Türme von Hanoi

Die Türme von Hanoi Puzzle ist das Fahren von Festplatten in verschiedenen Größen zwischen drei Zapfen, die Aufrechterhaltung der Eigenschaft, dass keine Platte überhaupt auf einer kleineren Festplatte platziert. Die Zustände der n-Platten Puzzle, und der zulässige bewegt sich von einem Zustand in einen anderen, zu bilden, ein ungerichteter Graph, die geometrisch als Schnittpunkt Graph der Menge der Dreiecke nach dem n-ten Schritt in der Konstruktion des Sierpinski Dreiecks verbleibenden dargestellt werden kann. Somit wird in der Grenze, n gegen unendlich geht, diese Folge von Graphen können als diskrete Analogon des Sierpinski Dreiecks auszulegen.

Immobilien

Für ganzzahlige Anzahl von Dimensionen d, wenn Verdoppeln einer Seite eines Objekts, 2 Kopien davon sind für 2-dimensionale Objekt und 8 Kopien für 3-dimensionale Objekt erstellt, das heißt 2 Kopien für 1-dimensionale Objekt, 4 Kopien. Für Sierpinski Dreieck Verdoppelung der Seite erstellt 3 Kopien von sich selbst. So Sierpinski Dreieck hat Hausdorff-Dimension log / log ≈ 1.585, die von der Lösung 2 = 3 für d folgt.

Die Fläche eines Dreiecks Sierpinski- Null ist. Die nach jeder Iteration übrigen Bereich ist eindeutig 3/4 der Fläche von der vorhergehenden Iteration, und eine unendliche Anzahl von Iterationen ergibt Null.

Die Punkte eines Sierpinski-Dreieck haben eine einfache Charakterisierung in Schwerpunktkoordinaten. Wenn ein Punkt hat die Koordinaten, ausgedrückt als Binärzahlen, dann der Punkt ist in Sierpinski Dreieck genau dann, wenn ui + vi + wi = 1 für alle i.

Analoga in höheren Dimensionen

Die tetrix ist das dreidimensionale Analogon des Sierpinski-Dreieck, durch mehrmaliges Schrumpfen eines regelmäßigen Tetraeders auf die Hälfte seiner ursprünglichen Höhe, die Zusammenstellung vier Kopien dieses Tetraeder mit Ecken berühren, und dann Wiederholen des Prozesses gebildet. Dies kann auch mit einer quadratischen Pyramide und fünf Kopien statt durchgeführt werden. Ein tetrix von einem Anfangstetraeders der Seitenlänge L konstruiert hat die Eigenschaft, dass die gesamte Oberfläche konstant bei jeder Iteration bleibt.

Die Anfangsoberfläche des Tetraeders der Seitenlänge L ist. Bei der nächsten Iteration wird der Seitenlänge halbiert

und es gibt 4 solche kleineren Tetraeder. Deshalb ist die Gesamtoberfläche nach der ersten Iteration:

Dies bleibt nach jeder Iteration der Fall. Wenn die Oberfläche von jedem nachfolgenden Tetraeders 1/4 des Tetraeders in der vorherigen Iteration gibt es 4 mal so viele damit die Aufrechterhaltung einer konstanten Gesamtoberfläche.

Die gesamte umschlossene Volumen wird jedoch geometrisch mit jeder Iteration abnimmt und asymptotisch gegen 0, wenn die Anzahl der Iterationen ansteigt. In der Tat kann gezeigt werden, dass, während mit festen Bereich, keine 3-dimensionalen Charakter hat. Die Hausdorff-Dimension einer solchen Konstruktion ist, die mit dem endlichen Bereich der Zahl entspricht.

Geschichte

Wacław Sierpiński beschrieb das Sierpinski Dreieck in 1915. Doch im 13. Jahrhundert erscheinen ähnliche Muster bereits Cosmati Mosaiken in der Kathedrale von Anagni, Italien, und anderen Orten in Mittelitalien, für Teppiche in vielen Orten, wie das Kirchenschiff der römischen Basilika Santa Maria in Cosmedin und für isolierte Dreiecke in Rotae in mehrere Kirchen und Basiliche positioniert. Im Fall des isolierten Dreiecks, ist es interessant zu bemerken, dass die Iteration mindestens drei Ebenen.

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