Spacetime Algebra

Sofia Neumann April 7, 2016 S 7 0
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In der mathematischen Physik, ist die Raumzeit-Algebra ein Name für die Clifford-Algebra Cℓ1,3 oder äquivalent die geometrische Algebra G4 = G, die besonders eng mit der Geometrie der speziellen Relativitätstheorie und relativistische Raumzeit zugeordnet werden können.

Es ist ein Vektorraum ermöglicht nicht nur einen Vektoren, sondern auch von Bivektoren oder Multivektoren zu kombinieren sind, sowie gedreht wird, reflektiert oder Lorentz erhöht. Es ist auch die natürliche Mutter Algebra der Spinoren in der speziellen Relativitätstheorie. Diese Eigenschaften ermöglichen es vielen der wichtigsten Gleichungen der Physik, in besonders einfacher Form ausgedrückt werden, und kann in Richtung einer geometrischen Verständnis ihrer Bedeutung sehr hilfreich sein.

Struktur

Die Raumzeit Algebra besteht aus Kombinationen von einem zeitartigen Basisvektor und drei orthogonalen raumartigen Vektoren ,, unter der Multiplikationsregel errichtet

wo ist die Minkowski-Metrik mit Unterschrift

So ,, anders.

Die Basisvektoren teilen diese Eigenschaften mit den Dirac-Matrizen, aber keine explizite Matrixdarstellung in STA genutzt.

Dies erzeugt eine Basis von einem Skalar, vier Vektoren, sechs Bivektoren, vier Pseudovektoren und ein pseudoskalaren, wo.

Die wechselseitige Rahmen

Verbindung mit der orthogonalen Basis verbunden ist, ist die wechselseitige Basis für alle = 0, ..., 3, die der Beziehung

Diese wechselseitige Rahmenvektoren unterscheiden sich nur durch ein Zeichen, mit und für k = 1, ..., 3.

Ein Vektor kann entweder in obere oder untere Index dargestellt werden koordiniert mit Summierung über = 0, ..., 3, nach dem Einst Ziffer, bei welchem ​​die Koordinaten indem Skalarprodukte mit den Basisvektoren oder deren Kehrwerte extrahiert werden.

Spacetime Gradienten

Die Raum-Zeit-Gradienten, wie die Steigung in einem euklidischen Raum ist so definiert, daß die Richtungsableitung Beziehung erfüllt ist:

Dies erfordert die Definition des Gradienten zu sein

Explizit geschrieben, mit, diese Teiltöne

Spacetime Split

In der Raumzeit Algebra, ist ein Raumzeit-Split eine Projektion von 4D Raum in D-Raum mit einem ausgewählten Referenzrahmen mit Hilfe der beiden folgenden Operationen:

  • ein Zusammenbruch der gewählten Zeitachse, wodurch ein 3D-Raum durch Bivektoren spannt, und
  • ein Vorsprung des 4D-Raum auf den gewählten Zeitachse, wodurch ein Raum 1D von Skalaren.

Dies wird durch vor oder nach der Multiplikation mit dem zeitBasisVektor, der zu einem Vier-Vektor in einem skalaren zeit und einem Bivektor raumartigen Komponente aufgeteilt dient erreicht. Mit wir haben

Da diese Bivektoren Quadrat zur Einheit, dienen sie als räumliche Basis. Verwendung des Pauli-Matrix-Notation, sind geschrieben. Räumliche Vektoren in STA sind fett bezeichnet; dann mit dem -spacetime Split und umgekehrt, sind:

Multi Geschäftsbereich

Die Raum-Zeit-Algebra ist kein Divisionsalgebra, weil es idempotent Elemente und Nullteiler enthält :. Diese können als Projektoren auf den Lichtkegel und Orthogonalitätsrelationen für solche Projektoren auszulegen sind. Aber im allgemeinen ist es möglich, einen Multi Menge durch eine andere zu unterteilen und Sinn des Ergebnisses: so zum Beispiel gibt eine gerichtete Fläche dividiert durch einen Vektor in der gleichen Ebene eine andere Vektor, orthogonal zu der ersten.

Spacetime Algebra Beschreibung der nicht-relativistischen Physik

Nicht-relativistischen Quantenmechanik

Spacetime Algebra erlaubt es, die Partikel Pauli im Sinne einer wirklichen Theorie anstelle einer Matrix-Theorie zu beschreiben. Die Matrix-Theorie Beschreibung des Pauli Teilchen:

wobei i die imaginäre Einheit ohne geometrische Interpretation sind die Pauli-Matrizen und ist die Schrödinger-Hamilton-Operator. In der Raumzeit Algebra das Pauli-Teilchen wird durch die reale Pauli-Schrödinger-Gleichung beschrieben:

wobei nun i der Einheit pseudoskalare und und werden Elemente der geometrischen Algebra, mit einem noch Multi-Vektor; ist wieder die Schrödinger-Hamilton-Operator. Hestenes bezeichnet dies als die reale Pauli-Schrödinger-Theorie zu betonen, dass diese Theorie reduziert sich auf die Schrödinger-Theorie, wenn der Begriff, der das Magnetfeld umfasst fallengelassen wird.

Spacetime Algebra Beschreibung der relativistischen Physik

Quantenmechanik

Die relativistischen Quantenwellenfunktion wird manchmal als Spinorfeld, dh ausgedrückt

wobei φ ein Bivektor und

wo nach deren Ableitung von David Hestenes, ist eine noch Multiwertfunktion auf die Raumzeit ist ein unimodular Spinor und und skalare Wertfunktionen.

Diese Gleichung wird als Verbindungs ​​Spin mit dem imaginären pseudoskalaren interpretiert. R wird als ein Lorentz Drehrichtung gesehen, der einen Rahmen von Vektoren in einem anderen Rahmen von Vektoren, die durch den Betrieb, wobei die Tilde anzeigt, das Umgekehrte.

Dieser wurde erweitert, um einen Rahmen für die lokal variierenden Vektor- und skalarwertige Observablen und Unterstützung für die Zitterbewegung Interpretation der Quantenmechanik ursprünglich von Schrödinger vorgeschlagen werden.

Hestenes seinen Ausdruck mit Feynmans Ausdruck dafür in der Pfadintegralformulierung im Vergleich:

wo ist die klassische Aktion entlang der -path.

Spacetime Algebra erlaubt es, die Dirac-Teilchens im Sinne einer wirklichen Theorie anstelle einer Matrix-Theorie zu beschreiben. Die Matrix-Theorie Beschreibung des Dirac-Teilchens ist:

wo sind die Dirac-Matrizen. In der Raumzeit-Algebra die Dirac-Teilchen wird durch die Gleichung beschrieben:

Hier sind und Elemente der geometrischen Algebra, und ist der Raumzeit-Vektor-Derivat.

Eine neue Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie

Lasenby, Doran und Gull von der Universität Cambridge haben eine neue Formulierung von Schwerkraft vorgeschlagen, sogenannte Eichtheorie der Schwerkraft, bei der Raumzeit-Algebra wird verwendet, um Krümmung an Minkowski-Raum zu induzieren, während die Aufnahme eines Eichsymmetrie unter "beliebige glatte Neuzuordnung von Ereignissen, auf die Raumzeit"; ein nicht-trivialen Beweis führt dann zur Geodätengleichung,

und die kovariante Ableitung

wobei ω ist die Verbindung mit dem Gravitationspotential verbunden ist, und Ω eine externe Wechselwirkung wie etwa ein elektromagnetisches Feld.

Die Theorie zeigt einige Versprechen für die Behandlung von Schwarzen Löchern, wie der Form des Schwarzschild-Lösung nicht zu brechen bei Singularitäten nach unten; die meisten Ergebnisse der allgemeinen Relativitätstheorie wurden mathematisch wiedergegeben, und die relativistische Formulierung der klassischen Elektrodynamik hat der Quantenmechanik und der Dirac-Gleichung erweitert.

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