Stabile Mannigfaltigkeit

Gerda Dannenberg Kann 29, 2016 S 137 0
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In der Mathematik, insbesondere die Untersuchung von dynamischen Systemen, die Idee der stabilen und instabilen Sets oder stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten geben eine formale mathematische Definition zu den allgemeinen Vorstellungen in der Vorstellung von einem Attraktor oder repellor verkörpert. Im Fall der hyperbolischen Dynamik, ist die entsprechende Vorstellung, dass der hyperbolischen set.

Definition

Im Folgenden wird eine Definition für den Fall eines Systems, das entweder ein iteriertes Funktions oder nur zeitdiskreten Dynamik. Ähnliche Begriffe gelten für Systeme, deren zeitliche Entwicklung wird durch eine Strömung gegeben.

Lassen Sie ein topologischer Raum und ein Homöomorphismus ist. Wenn ein Fixpunkt für die stabile Satz ist definiert durch

und die instabile Satz ist definiert durch

Hier bezeichnet die Inverse der Funktion, das heißt, wo die Identität der Karte auf.

Wenn ein periodischer Punkt der geringsten Zeitraum, dann ist es ein Fixpunkt und die stabilen und instabilen Sätze sind

und

Bei einer Nachbarschaft, die örtlichen stabilen und instabilen Sätze sind definiert durch

und

Wenn metrisierbar ist, können wir die stabilen und instabilen Sätze für jeden Punkt zu definieren

und

wobei eine Metrik. Diese Definition eindeutig fällt mit der vorherigen, wenn ein periodischer Punkt.

Nehmen wir nun an, dass eine kompakte glatte Mannigfaltigkeit und ein Diffeomorphismus ,. Wenn eine hyperbolische periodischer Punkt, versichert die stabile Mannigfaltigkeit Theorem, dass aus irgendeinem Nachbarschaft, die örtlichen stabilen und instabilen Sätze eingebettet sind Festplatten, dessen Tangens Plätze an sind und verbunden sind; Außerdem unterscheiden sie sich kontinuierlich in einer Umgebung in der Topologie. Schließlich werden die stabilen und instabilen Sätze injektiv taucht Platten. Das ist, warum sie werden gewöhnlich als stabile und instabile Mannigfaltigkeiten. Dieses Ergebnis ist auch für nichtperiodische Punkten, solange sie in irgendeiner hyperbolischen Satz liegen.

Vermerk

Wenn ein Vektorraum und isomorph sind ihre stabile und instabile Sätze stabile Ort und instabile Raum bezeichnet sind.

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