Størmer Theorem

Nina Ratzenberger April 6, 2016 S 113 0
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In der Zahlentheorie, Størmer Theorem nach Carl Størmer genannt, gibt eine endliche auf der Anzahl von aufeinanderfolgenden Paaren von glatten Nummern, die existieren bei einem gegebenen Grad an Glätte gebunden ist, und liefert ein Verfahren zum Finden aller solcher Paare mit Pell Gleichungen. Aus dem Satz von Thue-Siegel-Roth, dass es nur eine endliche Anzahl von Paaren dieser Art, aber Størmer ergab ein Verfahren für die Suche sie alle.

Erklärung

Formal besagt der Satz, dass, wenn man wählt eine endliche Menge P = {p1, ... pk} von Primzahlen und betrachtet die Menge der ganzen Zahlen

dass durch Produkte von Zahlen in P erzeugt werden, dann gibt es nur endlich viele Paare von aufeinanderfolgenden Zahlen in S. Ferner ist es gibt eine Methode zu finden, sie alle mit Pell Gleichungen.

Das Verfahren

Størmer ursprünglichen Verfahren beinhaltet die Lösung einer Reihe von rund 3 Pell Gleichungen, jeweils eine Feststellung nur der kleinste Lösung. Eine vereinfachte Version des Verfahrens aufgrund DH Lehmer, ist unten beschrieben; sie löst weniger Gleichungen findet aber mehr Lösungen in jeder Gleichung.

Sei P die gegebene Menge der Primzahlen sein und definieren eine Reihe zu sein P-glatt, wenn alle seine Primfaktoren gehören P. Angenommen p1 = 2; sonst kann es keine aufeinanderfolgenden P-glatte Zahlen. Lehmer-Verfahren beinhaltet die Lösung der Pell Gleichung

für jeden P-glatten Rechteckfreie Nummer q anders als 2. Jede solche Zahl q wird als ein Produkt einer Teilmenge von P erzeugt wird, so gibt es 2-1 Pell Gleichungen zu lösen. Für jede solche Gleichung, lassen xi, yi die erzeugten Lösungen, für i im Bereich von 1 bis max / 2), wobei pk die größte der Primzahlen in P.

Dann wird, wie Lehmer zeigt, sind alle aufeinander folgenden Paaren von P-glatte Zahlen der Form / 2/2. So kann man alle diese Paare durch Testen der Zahlen dieser Form für die P-Ruhe zu finden.

Beispiel

Um die zehn aufeinanderfolgenden Paare von {2,3,5} -Glatte Zahlen zu finden sei P = {2,3,5}. Es gibt sieben P-glatte quadrat Zahlen q: 1, 3, 5, 6, 10, 15 und 30, von denen jeder zu einer Pell Gleichung. Die Anzahl der Lösungen pro Pell Gleichung Lehmers Verfahren notwendig ist max / 2) = 3, so daß dieses Verfahren erzeugt drei Lösungen zu jedem Pell Gleichung, wie folgt.

  • Für q = 1, die ersten drei Lösungen der Pell Gleichung x - 2y = 1 sind ,, und. So kann jeder der drei Werte xi = 3, 17 und 99, testet Lehmers Verfahren das Paar / 2/2 für Glätte; Die drei Paare getestet werden ,, und. Beide sind und Paare von aufeinanderfolgenden P-glatte Zahlen, aber nicht, wie 49 hat 7 als ein Hauptfaktor.
  • Für q = 3 ist, die ersten drei Lösungen der Pell Gleichung x - 6j = 1 sind ,, und. Aus den drei Werten xi = 5, 49 und 485 Lehmers Verfahren bildet die drei Kandidatenpaare von aufeinanderfolgenden Zahlen / 2/2: ,, und. Von diesen, und Paare von aufeinanderfolgenden P-glatte Zahlen aber nicht ist.
  • Für q = 5 ist, die ersten drei Lösungen der Pell Gleichung x - 10j = 1 sind ,, und. Pell Lösung führt zu dem Paar von aufeinanderfolgenden P-glatte Nummern; die beiden anderen Lösungen für das Pell Gleichung nicht auf P-glatte Paaren führen.
  • Für q = 6 sind die ersten drei Lösungen der Pell Gleichung x - 12j = 1 sind ,, und. Pell Lösung führt zu dem Paar von aufeinanderfolgenden P-glatten Nummern.
  • Für q = 10 ist, die ersten drei Lösungen der Pell Gleichung x - 20y = 1 sind ,, und. Pell Lösung führt zu dem Paar von aufeinanderfolgenden P-glatte Zahl und der Pell Lösung führt zu dem Paar von aufeinanderfolgenden P-glatten Nummern.
  • Für Q = 15, die ersten drei Lösungen der Pell Gleichung x - 30y = 1 sind ,, und. Pell Lösung führt zu dem Paar von aufeinanderfolgenden P-glatten Nummern.
  • Für Q = 30, die ersten drei Lösungen der Pell Gleichung x - 60y = 1 sind ,, und. Pell Lösung führt zu dem Paar von aufeinanderfolgenden P-glatten Nummern.

Counting-Lösungen

Størmer ursprünglichen Ergebnis kann verwendet werden, um zu zeigen, dass die Anzahl von aufeinanderfolgenden Paaren von ganzen Zahlen, die in Bezug auf einen Satz von k Primzahlen glatt sind höchstens 3 - 2. Lehmers Ergebnis liefert eine engere Grenze für Sätze von kleinen Primzahlen: x max / 2 ).

Die Anzahl aufeinanderfolgender Paare von ganzen Zahlen, die glatt sind in Bezug auf die ersten k Primzahlen sind

Die größte Zahl von all diesen Paaren, für jedes k,

OEIS listet auch die Anzahl der Paare des Typs, bei dem die größere der beiden Zahlen in dem Paar quadratisch oder dreieckig, da beide Arten von Paar häufig auftreten.

Verallgemeinerungen und Anwendungen

Louis Mordell schrieb über dieses Ergebnis und sagte, dass es "ist sehr schön, und es gibt viele Anwendungen davon."

In der Mathematik

Chein verwendet Størmer Methode Katalanisch-Vermutung über die Nichtexistenz von aufeinanderfolgenden perfekte Befugnisse in dem Fall, dass eine der beiden Mächte ist ein Quadrat zu beweisen.

Mabkhout bewiesen, dass jede Zahl x + 1 für x & gt; 3 hat ein Primfaktor größer als oder gleich 137 Størmer Theorem ist ein wichtiger Teil seines Beweises, in dem er das Problem reduziert sich auf die Lösung von 128 Pell Gleichungen.

Mehrere Autoren haben Størmer Arbeit durch Methoden zum Auflisten der Lösungen für allgemeinere Diophantische Gleichungen oder durch die Bereitstellung allgemeiner Teilbarkeit Kriterien für die Lösungen für Pell Gleichungen erweitert.

In der Musiktheorie

In der Theorie der musikalischen Tuning, können Musiktöne als ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz beschrieben werden, und die durch die Produkte der kleinen Primzahlen erzeugten Vielfachen von besonderer Bedeutung sind: in pythagoreische Stimmung, nur Töne entsprechende Vielfache der Form 2 x integer 3 wird erlaubt, während in nur tuning, nur die Töne entsprechend den Zahlen der Form 2 × 3 × 5 erlaubt, wobei i, j und k können über jede beliebige nicht-negativen Integerwert liegen. Die Differenz zwischen einem Ton und anderen Formen eines Musikintervalls, das von dem Verhältnis zwischen den zwei entsprechenden Zahlen gemessen werden kann, und in der Musik die superparticular Verhältnisse zwischen aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen von besonderer Bedeutung sind.

Størmer Theorem impliziert, dass, für die pythagoreische Stimmung, die einzig möglichen superparticular Verhältnisse sind 2/1, 3/2, 4/3 und 9/8. Das heißt, die nur Paare von aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen, die nur Potenzen von zwei und drei in ihren besten Faktorisierungen aufweisen, sind ,, und. Für nur Tuning, sind sechs weitere superparticular Verhältnisse zur Verfügung: 5/4, 6/5, 10/9, 16/15, 25/24 und 81/80; alle sind musikalisch sinnvoll.

Einige moderne Musiktheoretiker haben p-Grenzmusik Tuning-Systeme für Primzahlen p größer als 5 entwickelt; Størmer Theorem gilt auch in diesen Fällen, und beschreibt, wie die Menge der möglichen superparticular Verhältnisse für diese Systeme zu berechnen.

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