Sturm-Theorem

Reiner Mozart Kann 13, 2016 S 1 0
FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc

In der Mathematik des Sturms Sequenz eines Polynoms p ist eine Folge von Polynomen p und ihre Ableitung durch eine Variante des Euklidischen Algorithmus für Polynome verbunden. Sturm-Theorem drückt die Anzahl der verschiedenen reellen Wurzeln p in einem Intervall liegt im Hinblick auf die Anzahl der Änderungen der Vorzeichen der Werte des Sturms Sequenz an die Grenzen des Intervalls. Auf das Intervall aller reellen Zahlen angewendet, gibt es die Gesamtzahl der reellen Wurzeln p.

Während die Fundamentalsatz der Algebra ergibt die Gesamtzahl der komplexen Wurzeln, mit Vielfachheit ohne weiteres ergibt Sturm-Theorem die Anzahl der verschiedenen reellen Wurzeln und findet sie in Intervallen. Durch die Unterteilung der Intervalle einige Wurzeln enthält, ermöglicht es schließlich, die Wurzeln in beliebigen kleinen Intervallen zu isolieren jeweils genau ein Wurzelverzeichnis. Dies ergibt eine symbolische root Suchalgorithmus, die in den meisten Computeralgebrasystemen ist, obwohl einige effizientere Methoden werden nun in der Regel bevorzugt.

Sturm der Sequenz und Sturms Sätze werden nach Charles-François Sturm benannt.

Sturm Ketten

Ein Sturm Kette oder Sturm-Sequenz ist eine endliche Folge von Polynomen

abnehmendem Maße mit diesen folgenden Eigenschaften:

  • p0 = p ist quadratisch frei;
  • wenn p = 0, dann melden Sie sich (p1) = sign (p ');
  • wenn pi = 0 für 0 & lt; i & lt; m dann melden (pi-1) = -Zeichen;
  • pm nicht sein Vorzeichen ändern.

Man erkennt, daß Sturms Sequenz ist eine Modifikation des Fourier-Sequenz sein.

Um einen Sturm-Kette zu erhalten, Sturm selbst vorgeschlagen, um die Zwischenergebnisse zu wählen, wenn die Anwendung Euklids Algorithmus auf p und ihre Ableitung:

wobei rem und qi der Rest und der Quotient aus dem polynomdivision pi durch pj, und wobei m die minimale Anzahl von Polynom-Abteilungen) benötigt, um eine Null-Rest zu erhalten. Das heißt, sukzessive nehmen die Reste mit Polynomdivision und ändern ihre Richtung. Da DEG & lt; Grad für 0 ≤ i & lt; m, endet der Algorithmus. Die endgültige Polynom, pm ist der größte gemeinsame Teiler von p und sein Derivat. Ist p Quadrat kostenlos teilt sie keine Wurzeln mit seinem Derivat, daher Uhr wird eine Nicht-Null-konstantes Polynom sein. Der Sturm-Kette, die so genannte kanonische Sturm-Kette ist, dann ist

Wenn p nicht quadratfrei, wird diese Sequenz nicht formell erfüllen die Definition eines Sturm Kette oben; dennoch ist es immer noch den Abschluss von Sturm-Theorem erfüllt.

Erklärung

Sei p = p0, ..., pm ein Sturm-Kette, wobei p eine quadratfreie Polynom, und sei σ bezeichnen die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Sequenz

Sturm-Theorem, dann heißt es, dass für zwei reelle Zahlen a & lt; b ist die Anzahl der verschiedenen Wurzeln von p in der halboffene Intervall - σ.

Die nicht-quadratische freien Fall

Sei p = p0, ..., pm der kanonische Sturm Sequenz eines Polynoms p, nicht notwendigerweise quadratisch frei sein. Dann σ - σ ist die Anzahl der verschiedenen Wurzeln von p in das gleiche Verfahren für ∞ gibt das Zeichen-Sequenz + + + -. -, Die nur einen Vorzeichenwechsel enthält. Daraus ergibt sich die Anzahl der Wurzeln des ursprünglichen Polynoms zwischen -∞ und ∞ ist 3-1 = 2. Dass dies richtig kann mit der Feststellung zu sehen ist, dass p = x + x - x - 1 kann berücksichtigt wie, wo es leicht nachprüfbar sein daß x - 1 hat zwei Wurzeln -1 und 1, während x + x + 1 hat keine wirklichen Wurzeln. In komplizierteren Beispielen, in denen es keine vorab Kenntnis von den Wurzeln, denn Factoring entweder unmöglich oder unpraktisch, kann man mit verschiedenen endlichen Schranken für den Bereich in Betracht gezogen werden zu experimentieren, damit Eingrenzung der Standorte der Wurzeln.

Beweis

Polynome stetige Funktionen, und jede Vorzeichenwechsel muss an einer Wurzel auf, so prüfen, die das Verhalten eines Sturm-Kette um die Wurzeln seiner konstituierenden Polynome.

Beachten Sie zunächst, dass zwei benachbarte Polynome kann eine gemeinsame Wurzel teilen nur, wenn es sich um eine mehrfache Wurzel p. Tatsächlich, wenn pi = pi-1 = 0, dann ist pi + 1 = 0, da Zeichen (pi-1) = -Zeichen. Der Null breitet sich dann rekursiv nach oben und unten die Kette, so dass ξ ist eine Wurzel aller Polynome p0, ..., pm.

Als nächstes betrachten Wurzeln der Polynome in den Innenraum des Sturm-Kette, die keine mehrfachen Wurzeln p. Wenn pi = 0, dann vom vorherigen Absatz stimmt es, dass pi-1 ≠ 0 und pi + 1 ≠ 0 Weiterhin Zeichen (pi-1) = -Zeichen. Da pi-1 und pi + 1 kontinuierlich sind, sign (pi + 1) = -Zeichen (pi-1) für alle x in der Nähe von ξ. In ähnlicher Weise wird das Vorzeichen pi vor und nach ξ konstant und ändert sich x kreuzt ξ. So, wenn x kreuzt ξ, von links nach rechts, der Teil pi-1, pi, pi + 1 des Sturm-Kette verliert einen Vorzeichenwechsel auf der einen Seite, und erhält einen neuen Vorzeichenwechsel auf der anderen Seite. Folglich wird die Gesamtzahl der Vorzeichenwechsel nie durch das Polynom Schwankungen im Inneren der Kette und nur Wurzeln des ursprünglichen Polynoms an der Oberseite der Kette berührt, die Gesamtzahl der Vorzeichenwechsel beeinflussen.

Betrachten wir ein Wurzel ξ, sodass p und zunächst an, daß es eine einfache Wurzel. Dann wird das Derivat der p, p1, muß nicht-null bei ξ, also p muss entweder erhöht oder verringert zumin ξ. Wenn es zunimmt, dann ihr Vorzeichen ändert sich von negativ zu positiv bei der Bewegung von links nach rechts, während die Ableitung positiv, so dass die Gesamtzahl der Vorzeichenwechsel durch einen abnimmt. Umgekehrt, wenn es abnimmt, dann ihr Vorzeichen von positiv nach negativ während seine Ableitung negativ ist, also wieder die Zahl der Vorzeichenwechsel wird um eins verringert.

Schließlich sei ξ ein Vielfaches Wurzel p, und sei p0, ..., pm die kanonische Sturm Kette sein. Lassen d = ggT, ​​q = p / d, und lassen q0, ..., qm "die kanonische Sturm Kette von q sein. Dann m = m 'und pi = für jeden i qid. Insbesondere ist σ für beide Ketten wenn x ist keine Wurzel d. Dann wird die Zahl der Vorzeichenwechsel der Umgebung ξ wird um eins verringert, da ξ ist ein einfaches Wurzel q.

Zusammenfassend nur unterschreiben Änderungen Wurzeln des ursprünglichen Polynoms Einfluss auf die Gesamtzahl der Vorzeichenwechsel in der Kette, und die Gesamtzahl der Vorzeichenwechsel von einem sinkt immer als Wurzeln geleitet. Der Satz folgt unmittelbar.

Abschnitt Historie und andere verwandte Verfahren

Zur Zählung und Isolierung der reellen Wurzeln sind andere Verfahren in der Regel bevorzugt, weil sie bei der Berechnung effizienter sind; Alle diese Methoden verwenden Vorzeichenregel Von Descartes und Vincent-Theorem. Interessanterweise ist die erste einer dieser Methoden wurde ursprünglich als "modifizierte Uspenskij Algorithmus" von seinen Erfindern, aber es wurde später gezeigt, dass es keine Uspenskij Methode; danach begannen die Menschen nennen es entweder "Collins-Akritas Verfahren" oder "Descartes 'Methode" nur gezeigt, dass es keine Descartes werden' Methode nicht. Schließlich François Boulier, der Universität von Lille, p. 24, gab ihm den Namen "Vincent-Collins-Akritas", um auch Kredit geben Vincent. VCA ist ein Bisektionsverfahren; Es besteht auch ein Kettenbrüche in Anlehnung an Vincent-Theorem, nämlich die Vincent-Akritas-Strzeboński Methode.

VAS auf Budan Theorem basierend wohin Sturm-Methode wurde von Fourier-Theorem inspiriert. In der Tat Sturm selbst, p. 108, erkennt die großen Einfluss Fourier-Theorem auf ihn hatte: «C'est en m'appuyant sur les principes qu'il a Posen, et de ses imitant Vorführungen, que j'ai trouvé les nouveaux théorèmes que je vais énoncer. »Was übersetzt" Es ist, indem sie sich auf die Grundsätze hat er angelegt und durch Nachahmung seine Beweise, die ich die neuen Sätze, die ich zu verkünden, gefunden. "

Anwendungen

Anzahl der reellen Wurzeln

Sturm-Theorem kann verwendet werden, um die Gesamtzahl der realen Nullstellen eines Polynoms zu berechnen.

Dies kann durch die Wahl -a = b = M, wobei M größer ist als der absolute Wert jedes Wurzel erfolgen. Zum Beispiel kann ein durch Cauchy gebunden sagt, dass alle reellen Wurzeln eines Polynoms mit Koeffizienten ai sind im Intervall, in dem

Obwohl theoretisch der obige Ansatz ist die einfachste, in der Praxis Grenzen auf die positiven Wurzeln von Polynomen verwendet werden und die positiven Wurzeln werden isoliert und zuerst ausgewertet; die negativen Wurzeln werden von ersten substituierende x durch -x behandelt werden, dann berechnen eine neue Schranke zu isolieren und zu bewerten, die negativen Wurzeln. Sturm-Verfahren und VCA benötigen nur eine verpflichtet, die positiven Wurzeln zu isolieren, um zu berechnen. Dagegen die positiven Wurzeln VAS muss verschiedenen positiven Grenzen für die verschiedenen Polynome, die im Prozess angezeigt berechnen isolieren. Effiziente Schranken für die Werte der positiven Wurzeln sind in der PS Vigklas 'beschrieben Ph.D. Diplomarbeiten und in.

Ein anderes Verfahren ist rechentechnisch einfacher. Kann man die Tatsache nutzen, dass für große x, das Vorzeichen

ist zu unterzeichnen, in der Erwägung, melden Sie sich) ein. Auf diese Weise einfach die Vorzeichenwechsel in den führenden Koeffizienten in der Sturm-Kette Zählen gibt einfach die Anzahl der verschiedenen reellen Nullstellen eines Polynoms.

Sturm-Theorem erlaubt es auch, die Vielfalt einer bestimmten Wurzel bestimmen, sagen ξ. Tatsächlich wird angenommen, dass eine & lt; ξ & lt; b, mit σ - σ = 1. Dann hat ξ Vielzahl k genau dann, wenn ξ ist eine Wurzel mit Vielfachheit k - 1 von pm. So ist die Vielzahl von ξ kann durch rekursive Anwendung Sturm-Theorem zur Uhr berechnet werden. Jedoch wird dieses Verfahren nur selten genutzt, da Platz frei Faktorisierung Berechnung effizienter für diesen Zweck.

Quotient

Der Rest benötigt wird, um die Kette mit Euklidischen Algorithmus berechnen. Für zwei Polynome

Dies wird erreicht durch

wo der Quotient wird ausschließlich aus den beiden ersten Führungskoeffizienten aufgebaut.

Generalized Sturm Ketten

Lassen ξ in dem kompakten Intervall. Eine allgemeine Sturm Kette über eine endliche Folge von reellen Polynome, so dass:

  • XX ≠ 0
  • Zeichen ist auf konstant
  • Falls Xi = 0 für 1 ≤ i ≤ r - 1 ist, dann Xi-1 xi + 1 & lt; 0.

Man kann überprüfen, dass jeder Sturm Kette ist in der Tat eine verallgemeinerte Sturm Kette.

  Like 0   Dislike 0
Vorherige Artikel Sunrise Trail
Nächster Artikel Flughafen Verona Villafranca
Bemerkungen (0)
Keine Kommentare

Fügen Sie einen Kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Zeichen übrig: 3000
captcha