Urne Problem

Tünnes Dötzer Kann 13, 2016 U 8 0
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In Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, ist ein Problem, urn eine idealisierte geistige Übung, in der einige Objekte der Realzinsen werden als farbige Kugeln in einer Urne oder einem anderen Behälter vertreten. Eines gibt vor, eine oder mehrere Kugeln aus der Urne zu ziehen; das Ziel ist es, die Wahrscheinlichkeit der Zeichnung eine Farbe oder eine andere oder einige andere Eigenschaften zu bestimmen. Eine Reihe von wichtigen Variationen werden nachfolgend beschrieben.

Eine Urne Modell ist entweder ein Satz von Wahrscheinlichkeiten, die Ereignisse in einer Urne Problem zu beschreiben, oder es ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, oder eine Familie solcher Verteilungen von Zufallsvariablen mit Urne Problemen verbunden.

Grundurnenmodell

In dieser Grundurnenmodell in der Wahrscheinlichkeitstheorie, enthält die Urne x weiß und y schwarze Kugeln zusammen gut gemischt. Eine Kugel wird nach dem Zufallsprinzip aus der Urne gezogen und seine Farbe zu beobachten; es wird dann in die Urne zurück platziert und der Auswahlprozess wird wiederholt.

Mögliche Fragen, die in diesem Modell beantwortet werden können, sind:

  • Kann ich schließen, den Anteil der weißen und schwarzen Kugeln von n Beobachtungen? Mit welchem ​​Maß an Vertrauen?
  • Wissen, x und y, was die Wahrscheinlichkeit einer Zeichnung eine spezifische Sequenz?
  • Wenn ich beobachte nur n Kugeln, wie sicher ich kann sein, dass es keine schwarzen Kugeln?

Beispiele Urne Probleme

  • Binomialverteilung: die Verteilung der Anzahl der erfolgreichen zieht, dh Gewinnung von weißen Kugeln, da n zeichnet mit Ersatz in einer Urne mit schwarzen und weißen Kugeln.
  • Beta-Binomialverteilung: wie oben, mit der Ausnahme, dass jedes Mal, wenn ein Ball beobachtet wird, wird eine zusätzliche Kugel der gleichen Farbe, um die Urne aufgenommen. Daher ist die Gesamtzahl der Kugeln in der Urne wächst. Siehe Pólya Urnenmodell.
  • Multinomialverteilung: die Urne enthält Kugeln in mehr als zwei Farben.
  • hypergeometrische Verteilung: die Kugeln sind nicht auf die Urne einmal extrahiert zurückgegeben. Daher ist die Gesamtzahl der Kugeln in der Urne abnimmt. Dies wird als "Ziehen ohne Zurücklegen" von Opposition gegen "Zeichnung mit Ersatz" genannt,.
  • multivariate hypergeometrische Verteilung: wie oben, aber mit Kugeln aus mehr als zwei Farben.
  • geometrische Verteilung: Anzahl der Ziehungen vor dem ersten erfolgreichen Unentschieden.
  • negative Binomialverteilung: Anzahl Unentschieden, bevor eine bestimmte Anzahl von Fehlern auftritt.
  • Statistische Physik: Ableitung von Energie und Geschwindigkeitsverteilungen
  • Die Ellsberg-Paradoxon
  • Polya urn: Jedesmal, wenn ein Ball in einer bestimmten Farbe gezeichnet wird, wird es mit einem zusätzlichen Kugel der gleichen Farbe ersetzt.
  • Hoppe urn: A Polya Urne mit einem zusätzlichen Kugel genannt Mutator. Wenn der Mutator gezogen wird zusammen mit einem zusätzlichen Kugel eines völlig neuen Farbe ersetzt.
  • Belegung Problem: Die Verteilung der Anzahl der belegten Urnen nach dem Zufallszuweisung von Kugeln in die Urnen.

Historische Anmerkungen

In Ars Conjectandi, Jacob Bernoulli als das Problem der Bestimmung, da eine Reihe von Kieselsteinen aus einer Urne gezogen, wobei die Anteile der verschiedenen farbigen Kieselsteinen in der Urne. Dieses Problem wurde als Kehrwahrscheinlichkeit Problem bekannt und war ein Thema der Forschung in der achtzehnten Jahrhunderts, die Aufmerksamkeit der Abraham de Moivre und Thomas Bayes.

Bernoulli verwendet das lateinische Wort urna, die in erster Linie bedeutet ein Tongefäß, sondern ist auch der Begriff im alten Rom für ein Schiff von jeder Art für das Sammeln von Stimmzetteln oder viel verwendet; die heutige italienische Wort für Wahlurne noch urna. Bernoulli-Inspiration gewesen sein Lotterien, wahlen, oder Glücksspiele, die Zeichnung Kugeln aus einem Behälter beteiligt, und es wurde behauptet, dass

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