Whitney Einbettungssatz

Heinke Hirschmann April 6, 2016 W 12 0
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In der Mathematik, insbesondere in Differentialtopologie, gibt es zwei Whitney Einbettung Theoreme nach Hassler Whitney benannt:

  • Die starke Whitney Einbettungssatz besagt, dass jede glatte echte m-dimensionale Mannigfaltigkeit reibungslos in der realen 2m-Raum eingebettet werden, wenn m & gt; 0. Dies ist die beste lineare auf kleinstem-dimensionalen euklidischen Raum, die alle m-dimensionalen Mannigfaltigkeiten einbetten in gebunden, da die reelle projektive Räume der Dimension m kann nicht in Echt -Raum eingebettet, wenn m eine Potenz von zwei ist.
  • Die schwache Whitney Einbettungssatz besagt, dass jede stetige Funktion von einem n-dimensionale Mannigfaltigkeit auf eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit kann durch eine glatte Einbettung vorgesehen m & gt angenähert werden; 2n. Whitney ähnlich erwiesen, daß eine solche Karte kann durch einen Tauch vorgesehen m & gt angenähert werden; 2n - 1. Dieses letzte Ergebnis wird manchmal als das schwache Whitney Eintsatz.

Ein wenig über die Beweis

Die Grundzüge des Beweises ist es, mit einer Immersions f starten: M → R mit Querselbstüberschneidungen. Diese sind bekannt, von Whitneys früheren Arbeiten über die schwache Eintsatz existieren. Transversalität der Doppelpunkte ergibt sich aus einer allgemeinen Position Argument. Die Idee ist, dann irgendwie alle Selbstüberschneidungen zu entfernen. Wenn M hat Grenze kann man die Selbstüberschneidungen einfach durch isotoping M in sich selbst, in eine Untermannigfaltigkeit von M, die nicht die Doppelpunkte enthält, zu entfernen. So können wir schnell zu dem Fall, in dem M hat keine Begrenzung geführt. Manchmal ist es nicht möglich, die Doppelpunkte über eine Isotopie entfernen betrachten zum Beispiel die Figur-8-Eintauchen der Kreis in der Ebene. In diesem Fall muss man, um eine lokale Doppelpunkt einzuführen.

Sobald man zwei gegenüberliegende Doppelpunkte hat, baut man eine geschlossene Schleife, die die beiden, so dass ein geschlossener Weg in R. Da R einfach angeschlossen ist, kann man davon ausgehen, dieser Weg begrenzt eine Disc, und vorausgesetzt, 2m & gt; 4 kann man weiterhin annehmen, daß die Scheibe in R eingebettet ist, dass er das Bild von M nur in seinem Rand schneidet. Whitney verwendet dann die Scheibe, um eine 1-Parameter-Familie von Immersionen zu erstellen, in der Tat drängen M über die Scheibe, das Entfernen der zwei Doppelpunkte in den Prozess. Im Fall der Figur-8-Immersion mit seinen eingeführten Doppelpunkt ist die Push für unterwegs ganz einfach.

Dieser Prozess der Beseitigung von entgegengesetzten Vorzeichen Doppelpunkte, indem Sie den Verteiler entlang einer Disc wird als Whitney Trick.

Um eine lokale Doppelpunkt einzuführen, erstellt Whitney eine Familie von Immersionen & alpha; m: R → R, die annähernd linear Außenseite der Einheit Ball, sondern einen einzigen Doppelpunkt enthalten. Für m = 1 ist wie ein Eintauchen definiert

Beachten Sie, dass, wenn α1 wird als Karte, um R, dh in Betracht gezogen:

dann kann der Doppelpunkt zu einer Einbettung gelöst werden:

Hinweis β1 = α1 und a ≠ 0, dann in Abhängigkeit von t1 ist β1 eine Einbettung. Definieren

α2 kann in ähnlicher Weise in R gelöst werden, dieser Prozess führt schließlich eine auf die Definition:

woher

Die wichtigsten Eigenschaften von & alpha; m ist, dass es eine Einbettung außer der Doppelpunkt & alpha; m = & alpha; m. Darüber hinaus für || groß ist, ist sie in etwa die lineare Einbettung.

Eventuelle Folgen der Whitney Trick

Die Whitney Trick wurde von Steve Smale verwendet, um die h-Kobordismus Satz zu beweisen; aus denen folgt der Poincaré-Vermutung in Maße m ≥ 5, und die Klassifizierung der glatte Strukturen auf Scheiben. Dies bildet die Grundlage für die Chirurgie-Theorie, die Verteiler in der Abmessung 5 und höher klassifiziert.

Gegeben zwei orientierte Untermannigfaltigkeiten von komplementären Dimensionen in einem einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit der Dimension ≥ 5 kann man eine Isotopie zu einem der Untermannigfaltigkeiten gelten, so dass alle Schnittpunkte das gleiche Vorzeichen haben.

Geschichte

Anlässlich der Beweis durch Hassler Whitney des Einbettungssatz für glatte Mannigfaltigkeiten soll genau gewesen, die erste vollständige Darstellung der Verteilerkonzept, weil sie zusammengebracht und vereinheitlicht die unterschiedlichen Konzepte der Verteiler zu der Zeit: nicht mehr war es eine Verwirrung , ob abstrakte Mannigfaltigkeiten, eigen über Diagramme definiert, waren mehr oder weniger allgemein als Verteiler extrinsisch als Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raum definiert. Siehe auch die Geschichte der Verteiler und Sorten für den Kontext.

Sharper Ergebnisse

Obwohl jeder n-Verteiler bettet in R, kann man oft besser machen. Lassen e bezeichnen die kleinste ganze Zahl, so dass alle kompakten n-Verteiler einbetten in R. Whitney starke Einbettung Theorem besagt, dass e ≤ 2n. Für n = 1, 2 haben wir e = 2n, wie der Kreis und der Klein-Flasche Show. Allgemeiner gesagt, für n = 2 haben wir e = 2n, wie die 2-dimensionalen reellen projektiven Raum zeigen. Whitneys Ergebnis verbessert werden, um eine E ≤ 2n werden - es sei denn, 1 n eine Potenz von 2. Dies ist ein Ergebnis der Haefliger-Hirsch und CTC Mauer ; Diese Autoren verwendeten wichtigen vorläufigen Ergebnisse und besonderen Fällen von M. Hirsch, W. Massey, S. Novikov und V. Rokhlin bewährt. Derzeit ist die Funktion E wird nicht in geschlossener Form für alle ganzen Zahlen bekannt.

Einschränkungen für Verteiler

Man kann sich die Ergebnisse, indem Sie weitere Einschränkungen auf dem Verteiler zu stärken. Beispielsweise der n-Bereich einbettet immer in R - die die bestmögliche ist. Jede kompakte orientierbare Fläche und jede kompakte Fläche mit nichtleeren Grenz bettet in R, obwohl jede geschlossene nicht-orientierbare Fläche muss R.

Wenn N eine kompakte orientierbare n-Mannigfaltigkeit, dann N bettet in R. Na Potenz von 2 ist dies ein Ergebnis von A. Haefliger-M. Hirsch und F. Fang; Diese Autoren verwendeten wichtigen vorläufigen Ergebnisse von J. Bo'echat-A bewährt. Haefliger, S. Donaldson, M. Hirsch und W. Massey. Haefliger bewiesen, dass, wenn N eine kompakte n-dimensionalen k geschalteten Verteiler, dann N bettet in R vorgesehen 2k + 3 ≤ n.

Isotopie-Versionen

Eine relativ "einfach" Ergebnis ist, zu beweisen, dass zwei beliebige Einbettungen eines 1-Verteiler in R sind Isotopen. Dies wird unter Verwendung der allgemeinen Position, die auch ermöglicht, dass zwei beliebige Einbettungen aus einem n-Verteiler in R isotop erwiesen. Das Ergebnis ist eine Isotopie Version des schwachen Whitney Einbettungssatz.

Wu bewiesen, daß für n ≥ 2, zwei beliebige Einbettungen aus einem n-Verteiler in R Isotopen. Das Ergebnis ist eine Isotopie Version des starken Whitney Einbettungssatz.

Als isotopy Version seiner Einbettung Ergebnis Haefliger bewiesen, dass, wenn N eine kompakte n-dimensionalen k geschalteten Verteiler, dann zwei beliebige Einbettungen von N in R isotop vorgesehen 2k + 2 ≤ n. Die Dimension Einschränkung 2k + 2 ≤ n ist scharf: Haefliger fuhr fort, Beispiele für nicht-trivial eingebettete 3-Sphären geben in R -Kugeln in R). Sehen Sie weitere Verallgemeinerungen.

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