Whittaker-Shannon Interpolationsformel

John Schultz April 7, 2016 W 2 0
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Das Whittaker-Shannon Interpolationsformel oder sinc-Interpolation ist eine Methode, um eine zeitkontinuierliche bandbegrenzte Funktion aus einer Folge von reellen Zahlen zu konstruieren. Die Formel stammt aus den Arbeiten von E. Borel 1898 und ET Whittaker im Jahr 1915 und wurde von der Werke von JM Whittaker 1935 zitiert und in der Formulierung der Nyquist-Shannon-Abtasttheorem von Claude Shannon 1949 Es ist auch gemeinhin als Shannons Interpolationsformel und Whittaker Interpolationsformel. ET Whittaker, der es im Jahre 1915 veröffentlicht wurde, nannte der Kardinal-Serie.

Definition

Bei einer Folge von reellen Zahlen, x, die stetige Funktion

 wurde eine Fourier-Transformation, X, deren Nicht-Null-Werte sind auf den Bereich beschränkt | f | ≤ 1 /. Wenn Parameter T hat Einheiten von Sekunden, die Bandgrenze, 1 /, hat Einheiten von Zyklen / Sekunde. Wenn die x-Sequenz stellt die Zeit Proben, bei Intervall T, einer stetigen Funktion, die Menge fs = 1 / T wird als die Abtastrate und fs / 2 bekannt ist, ist die entsprechende Nyquist-Frequenz. Wenn die abgetastete Funktion hat eine Bandgrenze, B, kleiner ist als die Nyquist-Frequenz ist, x eine perfekte Rekonstruktion des ursprünglichen Funktion. Andernfalls werden die Frequenzkomponenten oberhalb der Nyquist-Frequenz "Falte" in die unterhalb der Nyquist-Region X, was zu Verzerrungen.

Äquivalente Formulierung: Faltung / Tiefpassfilter

Die Interpolation Formel in der Nyquist-Shannon-Abtasttheorem Artikel, der darauf hinweist, dass es auch als Faltung einer unendlichen Impulsfolge mit einer sinc-Funktion ausgedrückt werden abgeleitet:

Dies ist äquivalent zu Filtern des Impulsfolge mit einer idealen Tiefpaßfilters.

Annäherung

Die Interpolationsformel konvergiert immer absolut und lokal gleichmäßig, solange

Vom Inhaber Ungleichheit dies erfüllt ist, wenn die Sequenz gehört zu einem der Räume mit 1 & lt; p & lt; ∞, dh

Diese Bedingung ist ausreichend, aber nicht notwendig. Beispielsweise wird die Summe in der Regel zu konvergieren, wenn die Probensequenz stammt von Probenahme fast jede stationärer Vorgang, in welchem ​​Fall die Probensequenz nicht quadratisch summierbar ist und nicht in einem Raum.

Stationäre Zufallsprozesse

Wenn x eine unendliche Folge von Proben einer Probe in Abhängigkeit von einem Breit Sinne stationären Prozess, dann ist es nicht Mitglied einer oder L Raum, mit einer Wahrscheinlichkeit von 1; das heißt, ist die unendliche Summe von Proben mit einer Strom p angehoben keine endlichen Erwartungswert. Dennoch ist die Interpolationsformel konvergiert mit Wahrscheinlichkeit 1. Konvergenz kann leicht durch Berechnen der Varianzen von Kegel hinsichtlich der Summierung, und zeigt, daß die Varianz beliebig klein, indem eine ausreichende Anzahl von Bedingungen hergestellt werden angezeigt. Wenn der Prozess bedeutet ungleich Null ist, dann Begriffspaare berücksichtigt werden müssen, um auch zu zeigen, dass der Erwartungswert der Kegel Begriffe gegen Null konvergiert.

Da ein Zufallsprozess nicht über eine Fourier-Transformation, muss die Bedingung, unter der die Summe konvergiert zur ursprünglichen Funktion auch unterschiedlich sein. Eine stationäre Zufallsprozess hat zwar eine Autokorrelationsfunktion und damit eine spektrale Dichte nach dem Wiener-Chintschin-Theorem. Eine geeignete Bedingung für die Konvergenz zu einer Probe Funktion aus dem Verfahren ist, dass die spektrale Dichte des Prozeß Null bei allen Frequenzen gleich oder oberhalb der halben Abtastfrequenz liegen.

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